Завдання № 2. Апроксимація заданої кривої поліномом у формі лагранжа

Умова завдання

Виконати апроксимацію заданої кривої поліномом у формі Лагранжа.

Мета завдання – освоїти практичні прийоми математичного моделювання кривих ліній, що задовольняють умову їх проходження через задані точки і точки з дотичними в них.

Рекомендації до виконання завдання

Завдання виконується на аркуші формату A3. Приклад виконання завдання показаний на рис. 5.

У табл. 2 відповідно до варіанта потрібно знайти задану криву, накреслити її в декартовій системі координат xOy тонкою суцільною лінією. Потім призначити на кривій чотири точки 1,2,3,4 по можливості рівномірно, але так, щоб передати її форму. Для розімкнених кривих точки 1 та 4 обов’язково слід призначати на кінцях кривої.

Тепер необхідно виконати інтерполяцію цих точок. Вигляд отриманої кривої залежить від вибраного способу інтерполяції. Пропонується застосувати інтерполяцію поліномом у формі Лагранжа:

, (7)

де . (8)

Оскільки вихідні криві (див.табл.2) при ортогональному проектуванні не відображаються взаємно однозначно на осі Ох і Оу, перейдемо до параметричного опису кривої x=m₁(t), y=m₂(t), що припускає взаємо-однозначну відповідність координат х і y параметрові t.

Для цього доповнимо декартову систему xOy горизонтальною й вертикальною осями Ot значень параметрів t і шляхом ортогонального проектування виконаємо взаємо-однозначне відображення x→t, y→t, [1, п.5].

Цей прийом параметризації запропонований із [3, п.3.5.2]. Для зручності обчислень значення параметра t, рівні 1,2,3,4 асоціюються з номерами заданих точок (див.рис.5). У результаті виконаного відображення на площинах xOt і yOt одержуємо ряди точок 1₁, 2₁, 3₁ , 4₁ та 1₂, 2₂, 3₂ , 4₂ відповідно.

Інтерполяційна формула (7) для цих двох рядів точок набуває вигляду:

(9)

. (10)

У результаті параметричної інтерполяції отримано рівняння (9) та (10) кривих m₁ і m₂ (див.рис.5) відповідно. Потім послідовною підстановкою в (9) та (10) значень параметра t = 1.5, 2.5, 3.5 визначаються координати x i y проміжних точок, що зворотним проектуванням повертаються в систему xOy.

Результати обчислень зводять у таблицю розрахованих значень, показану на рис. 5.

Ряди точок з'єднуються плавними кривими m₁, m₂, m. Тепер необхідно порівняти отриману криву з вихідною, оцінивши ступінь її наближення до останньої, визначивши максимальне значення абсолютного відхилення Δ вимірюванням на кресленні та позначивши його.

Питання для самоконтролю

1. Поліноми якого степеня описують криві m₁ і m₂ у цьому завданні?

2. Якій степінь полінома Лагранжа, що інтерполює шість точок?

Р ис. 5

Варіанти до завдання 2 Таблиця 2

Завдання № 3. Інтерполяція поверхні методом кунса

Умова завдання

Сконструювати серединну поверхню оболонки покриття за дискретно заданим опорним контуром ABCDEFGHA та розмірам плану LM.

Мета завдання – оволодіння методами інтерполяції як інструментом математичного моделювання поверхонь оболонок.

Рекомендації до виконання завдання

Завдання виконується на аркуші формату АЗ. Варіанти завдань наведені в табл. 4, зразок виконання показаний на рис. 6.

Поверхонь, що спираються на заданий контур, існує безліч [4], з яких одна виділяється прийнятим способом інтерполяції. Пропонується скористатися широко розповсюдженим на практиці методом Кунса, основаним на представленні поверхні у виді кусково-безперервної, тобто складеної з окремих "кусків", що з'єднуються по границях з урахуванням умов безперервності і гладкості [5]. При цьому використовується вісенезалежне векторне параметричне представлення поверхні. Поверхня описується векторною функцією двох змінних (параметрів):

, (11)

Кожна пара значень u і v однозначно визначає точку на поверхні. Змінюючи u з деяким кроком при безперервному v та навпаки, можна одержати сімейство кривих на поверхні. Єдина крива виділяється фіксацією одного з параметрів, наприклад, R(u,0,5), та являє собою криву при v=0,5.

У методі Кунса величини u і v змінюються в інтервалі [0,1], тому формується "кусок" поверхні на границях якого u та v приймають екстремальні значення. Інтерполяційна формула Кунса містить функції "зшивання" таких кусків по границях залежно від вимог, що висуваються до гладкості поверхні.

Завдання передбачає конструювання куска поверхні за заданими у табл. 4 координатами граничних точок A,B,C,D,E,F,G,H, що належать опорному контурові оболонки.

Криволінійні ланки контуру проходять через три точки, що належать граням призми, основа якої інцидентна площині xOy і визначається розмірами заданого плану: x = L, у = M, (табл. 4). Бічні грані призми паралельні або інцидентні координатним площинам хOz та yOz декартової системи Oxyz.

Замінимо величини х і y на Lu та Mv таким чином, щоб грані призми відповідали нульовим та одиничним значенням параметрів u i v. Як інтерполюючу поверхню приймемо так звану лінійну поверхню Кунса [5]. Остання визначається як сума двох лінійчастих поверхонь, що являють собою лінійну інтерполяцію між ланками опорного контуру, інцидентними протилежним граням призми, за винятком білінійної поверхні як лінійної інтерполяції між хордами протилежних ланок заданого контуру.

Приймемо наступні позначення: Р – вектор вхідних даних проектування; R – вектор, отриманий за вхідними даними, S –вектор, що визначає поверхню, яка конструюється за вхідними даними.

Задача розв’язується в три етапи.

Перший етап: виконання параметричної інтерполяції квадратними поліномами у формі Лагранжа трійок точок, що належать чотирьом ланкам опорного контуру. Координати інтерполюючих точок відповідно до варіантів наведені в табл. 4. Необхідно записати рівняння чотирьох ланок контуру.

Наприклад, для показаного на рис. 6 випадку ланка контуру, що належить площині xOz, проходить через точки А,B,C, (табл.4, варіант 30). Для запису рівняння кривої v=0, u_A =0, u_B =0.5, u_C =1, P(0,0) = 230, P(0,5,0) = 185, P(1,0) = 200.

Рівняння має вигляд:

,

після перетворень:

(12)

Аналогічно (12) складають рівняння трьох інших ланок опорного контуру

R(u,1), R(0,v), R(1,v).

За отриманими рівняннями обчислюють значення функцій для двох проміжних значень параметрів u i v, рівних 0,25 та 0,75. Задані й отримані величини аплікат точок контуру заносяться в таблицю 3 (рис. 5), приймаючи, що а₁₁= z_A, а₃₁= z_B, а₅₁= z_C, а₅₃= z_D, а₅₅= z_E, а₃₅= z_F, а₁₅= z_G, а₁₃= z_H.

Другий етап: складання рівнянь та побудова лінійчастих поверхонь – компонентів лінійної поверхні Кунса.

Виконується лінійна інтерполяція між ланками ABC і EFG, CDE і AHG, AC i EG, AG i CE. Нехай необхідно виконати лінійну інтерполяцію між кривими R(u,0) та R(u,1). Інтерполяційна схема визначається співвідношенням, при якому отримуємо поверхню першого циліндроїда:

. (13)

Рівняння поверхні другого циліндроїда має такий вигляд:

. (14)

Тепер залишилось записати рівняння лінійчастої поверхні, що є результатом інтерполяції між хордами і дає одну білінійну поверхню (гіперболічного параболоїда):

. (15)

На кресленні виконують прямокутну ізометрію отриманих лінійчастих поверхонь з урахуванням того, що x = L∙u, y = M∙v.

Третій етап: складання рівняння і побудова лінійної поверхні Кунса.

Рівняння поверхні, що конструюється, отримують із співвідношення

. (16)

Із (16) обчислюють значення функції S(u,v) для всіх проміжних значень параметрів u,v = 0,25, 0,75. Результати заносять в табл. 3 (див. рис. 5).