3.24. Математическое описание су

Главным образом, система упр-я характер-ся взаимосвязью во времени вых-х и вх-х величин.

Мн-во вх-х х₁(t) y₁(t) Множ-во вых-х вел-н

вел-н х₂(t) y2(t)

х_k(t) y_k(t)

Фактически любая СУ явл-ся преобразователем во времени мн-ва вх-х вел-н во мн-во вых-х

Математич. описание сис-ы представл. собой описание в мат. виде, (т.е. с пом. ур-й и формул) этого преобразования. Мат описание с-мы фактически характеризует переходный процесс в системе, т.е. такое описание раскрывает взаимосвязи измен-ия выход. вел-ны во времени с входной (y(t)→ x(t)). Такое описание сис-ы м/б реализовано многими способами. Для отн-но простых линейных систем широко исп-ют диф ур-я движения(взаимосвязь х и y диф-на(оч сложн)): D(р)x(t)=V(p)y(t), где х(t)-вх-я вел-а, кот учитывает диф отношение для входного сигнала; y-вых-я вел-а,-//- для выходного сигнала;

V(p) –операторный полином, хар-щий диффер. преобразования входного сигнала;

D(p)–операторный полином выход. сигнала;

P=d/dt – диффер. оператор.

D(p)=а₀+а₁p+а₂p²+….- операторный полейном для входа (степень оператора характеризует производная, которая входит в этот полейном)

Диф зависимости м.б. представлены различными способами. В нашем случае – это операторная форма:

V(p)=b₀+b₁p+b₂p²+….- операторный полейном для выхода

Выше представлена возможная форма мат. модели системы управления.

Из нее можно выразить переходный процесс y(t):

y(t)= (D(p)/ V(p))*х(t), где D(p)/ V(p)-соотношение операторных полейномов(это отношение характеризует преобразовательную функцию системы управления. Это взаимосвязь х(t) от y(t) через это соотношение.

Диффер. ур-ие движ-я сис-мы можно представить в виде:

λ(t)/φ(t)= V(p)/D(p)=K(p) - передаточный оператор.

К(р) показ-ет все диффер-ные операции, к-ые происходят в сис-ме.

Решить ур-ие движ-я - значит получить ур-ие переходного процесса, т.е. завис-ть выход. вел-ны от вход. во времени: λ(t)=λ(φ,t)

Любое измен-ие регулир-го (управл-го) параметра во времени есть переходный процесс. Иными словами движ-ие сис-мы хар-ся переходным процессом в ней. Такое состояние наз. динамическим, оно хар-ет динамику работы сис-м. При стабильной урпавл-мой вел-не во времени наступает статическое сост-ие.

Математ опис необх-мо для реш-я 2-х осн-х проблем:

1. Анализа действ-х сис-м и их улучшения;

2. Синтеза, т.е проектирования новых сис-м с заданными треб-ми.

Наряду с аналитической формой математического описания применяют хорошо известные из математики другие формы: 1-графическую (хороша наглядностью);2- численную(наборы чисел);3- диаграммную;4-гистограммную;5-в виде мат ожиданий(в статистике)

3.25. Структурное представление и описание су

Структурно СУ можно представить в виде динамич-х звеньев

СУ подразделяются на эл-ты и с т. зр. математич. описания сис-мы таким эл-том явл-ся ЭДЗ(Элементарное динамическое звено).

В основе описания СУ лежит понятие ЭДЗ. ЭДЗ – это такая структурная часть сис-мы, движ-ие к-ой описывается диффер-ным ур-ем не выше второго порядка. ЭДЗ явл-ся эл-том, к-ый использ-ся для матем. описания движ-я сис-мы. Поэтому представление сис-м, обусловленных подходом к эл-там как к структур. звеньям (ЭДЗ) наз. структур-м.

Структурная блок-схема (CБC)– это графич. представление системы в виде набора динамических звеньев.

ДЗ 1

ДЗ 2

ДЗ 3

обр.связь

где – входная вел-на зав-т от времени; – выходная вел-на зав-т от времени;ДЗ- динамич. Зв.

Т.о. данная структур. Блок-схема фактически представляет собой математическую модель системы, т.е. дифференциальное уравнение всей системы. В представленном примере общее диф. Ур-е будет 4-го порядка. СБС помогает получить матем. модель и рассчитывать динамику работы системы.

Т.о., структурное представление СУ – это набор ЭДЗ со связями м/у ними. Структур. представление дает матем. описание движ-я сис-мы как в целом, так и каждому звену.

D(p)λ(t)=U(p)φ(t) – ур-ие движ-я сис-мы.

di(p)λi(t)=ui(p)φi(t)-ур-ие движ-я i-го звена.

Специфику стр-го представления имеют логические(двоичные) эл-ты. У них вх-е и вых-е сигналы принимают только два значения: 0 и1. Работа таких эл-тов и сис-м описывается с пом. логической(двоичной) алгебры. В основе логической алг-ы и лог-х сис-м лежат 3 осн. лог-е оп-ции:

1)лог-е слож-е(дизъюнкция) –«ИЛИ»: 1 получается тогда, когда хотя бы одно из логических слагаемых =1;

2)лог-е умнож-е (конъюнкция)-«И»: 1 получ-ся только тогда, когда навходе все ед-цы;

3)лог-е отриц-е(инверсия)-«НЕ»: Эл-т имеет один вх-й сигнал, который на входе «переворачивается»