2. Задачи динамики точки. Дифференциальные уравнения

движения точки

Задачами динамики точки являются:

1. первая задача динамики - зная закон движения материальной точки, определить, под дей­ствием какой силы такое движение может происходить;

2. вторая задача динамики - зная действующие на материальную точку силы, а также ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения точки. Вторая задача является в динамике основной.

Задачи динамики точки решаются с помощью соответствующих дифферен­циальных уравнений, связывающих координаты движущейся точки с действующими на нее силами. Эти уравнения получаются из второго (основ­ного) закона динамики. Представим урав­нение (2), выражающее второй закон Ньютона, в виде

^, (4)

г

Рис. 1

де г — радиус-вектор точки по отноше­нию к инерциальной системе отсчета Oxyz (рис. 1), F = ΣF_k — равнодействующая приложенных к точке сил. Уравнение (4) есть дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме.

Проектируя обе части равенства (4) на оси Oxyz, получим диф­ференциальные уравнения движения свободной материальной точки в прямоугольных декартовых координатах:

₍₅₎

2.1. Решение первой задачи динамики

Задача состоит в том, чтобы, зная закон движения точки, т. е. кинематические уравнения

x = x(t), y = y(f), z = z(t), (6)

найти действующую силу, т. е. F_x, F_y, F_z. Задача, как видим, легко решается с помощью уравнений (5) и сводится к вычислению вторых производных по времени от заданных функций (6).

Задача 1. Воздушный шар весом Р опускается с ускорением w. Какой груз Q (балласт) надо сбросить, чтобы шар стал подниматься с таким же ускорением?

Р ешение. На падающий шар действуют сила тяжести Р и подъемная сила F (рис. 2а).

Составляя уравнение (5) в проекции на вертикаль, по­лучим

Рис.2

Когда будет сброшен балласт (рис. 2б), вес шара станет равен Р-Q, а подъемная сила останется той же. Тогда, учитывая, что шар при этом движется вверх, будем иметь:

,

исключая из этих уравнений неизвестную силу F, найдем:

.

Задача 2. Лифт весом Р (рис.3) начинает подниматься с ускорением w. Определить натяжение троса.

Р ешение. Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Т и, составляя уравнение (5) в проекции на вертикаль, получаем:

.

О

Рис.3

тсюда находим: .

Если лифт начнет опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно .

2. Решение второй (основной) задачи динамики

Эта задача состоит в том, чтобы, зная действующую силу F, найти закон движения точки, т. е. кинематические уравнения (6). Сила F может вообще зависеть от времени, от положения точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е. . Поэтому дифференциальные уравнения (5) будут в общем случае иметь следующий вид:

(7)

Нахождение закона движения данной точки сводится к интегрированию системы (7), т. е. системы трех совместных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки х, у, z, а аргументом - время t. Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений, получим х, у, z в функциях времени и шести произвольных постоянных, т. е. найдем общее решение (общие интегралы) системы (7) в виде

(8)

Наличие в правых частях уравнений (8) произвольных постоянных указывает на то, что под действием данной силы точка может совер­шать не какое-то вполне определенное движение, а целый класс движений, имеющих разные законы при разных значениях постоянных C_i, i=1..6.

Физически этот результат объясняется тем, что точка, на кото­рую начинает действовать некоторая сила, будет двигаться по-раз­ному в зависимости от так называемых начальных условий, т. е. от начального положения и начальной скорости этой точки. Напри­мер, движение свободной материальной точки под действием силы тяжести может быть прямолинейным или криволинейным в зависи­мости от направления ее начальной скорости.

Чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной, надо кроме действующих сил задать начальные условия, т. е. для некоторого момента времени t = t₀ (начальный момент) задать:

начальное положение точки

и начальную скорость точки