III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:
1.
- коммутативность конъюнкции.
2.
- коммутативность дизъюнкции.
3.
- ассоциативность конъюнкции.
4.
- ассоциативность дизъюнкции.
5.
-
дистрибутивность конъюнкции относительно
дизъюнкции.
6.
- дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции.
На основе равносильностей I, II и III групп можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.
Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.
Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше переменных и меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.
2.2. Задания к выполнению работы
1. Установить, используя равносильные преобразования, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Решение примера 1.
Подвергнем формулу 1 равносильным преобразованиям
В результате преобразований получилось, что формула равна 0, следовательно, при всех значениях переменных она равняется нулю и согласно определению тождественно ложной формулы является тождественно ложной.
2. Доказать равносильности:
Решение примера 1.
Для доказательства равносильности формулы 1 подвергнем ее левую часть равносильным преобразованиям
3. Упростить формулы:
Решение примера 1.
Напомним, что формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше переменных и меньше логических операций. Для упрощения используем равносильные преобразования. Для компактности записи будем опускать знак конъюнкции
.
4. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:
Решение примера 14).
5. Пусть А – тождественно ложная формула. Доказать, что
.
6.
Штрихом
Лукасевича (стрелкой Пирса) двух
высказываний
и
называется новое высказывание,
обозначаемое
(читается
«ни
,
ни
»,
которое истинно в том и только в том
случае, когда оба данные высказывания
ложны. Составить таблицу истинности
штриха Лукасевича и выразить его через
основные операции над высказываниями
(конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание).
7. Выразить операции импликации, эквиваленции, стрелку Пирса, штрих Шеффера, суммирование по модулю два:
1) через операции конъюнкции и отрицание;
2) через операции дизъюнкции и отрицание;
3) через операции импликации и отрицание.
2.3. Контрольные вопросы
Дать определение формулы высказываний.
Какова приоритетность выполнения логических операций?
3. Какие формулы алгебры высказываний являются равносильными?
4. Дать определение тождественно истинной и тождественно ложной формулы.
5. Сколько строк содержит таблица истинности формулы при наличии в ней 6 переменных?
6. Привести основные равносильности.
7. Записать равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
8. Привести равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
9. С помощью каких равносильностей можно заменить любую формулу равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание?
10. Какая связь существует между понятиями равносильности и эквивалентности?
11. С помощью какой операции может быть выражена любая из пяти рассмотренных нами в первой работе логических операций? Дать ее определение и привести ее таблицу истинности.
12.
Преобразовать формулу
к виду, содержащему только одну операцию.
13.
Найдите
,
если
.
14. Выразить отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргументами.