1.3. Контрольные вопросы
Что изучает алгебра высказываний?
Дать определение высказывания. Охарактеризуйте простое и составное высказывание.
Определение отрицания высказывания. Таблица истинности.
Определение операции конъюнкции. Таблица истинности.
Определение операции дизъюнкции. Таблица истинности.
Определение операции импликации. Таблица истинности.
Определение операции эквиваленции. Таблица истинности.
В выражении
высказывания
,
,
заданы, причем
и
истинны, а
ложно.
Истинно или ложно высказывание
?
Как выражается
через
,
,
?
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998.
Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. – М.: ACADEMA, 2004.
Шапорев, С. Д. Математическая логика: курс лекций и практических занятий / С. Д. Шапорев – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.
Лабораторная работа № 2
ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение формул алгебры логики и равносильных преобразований над ними.
2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущем разделе, из заданной совокупности простых высказываний можно строить более сложные высказывания.
2.1.1. Формулы алгебры высказываний
Формула алгебры высказываний (алгебры логики) – это всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.
Формулы
алгебры логики обычно обозначаются
большими буквами латинского алфавита:
А,
В, С,
… Порядок выполнения операций в формуле
указывается скобками. Скобки можно
опускать, придерживаясь следующего
порядка действий:
,
то есть отрицание выполняется раньше
всех операций, конъюнкция –
раньше, чем все оставшиеся операции,
дизъюнкция –
раньше,
чем импликация и эквивалентность. Если
над всей формулой стоит знак отрицания,
то скобки тоже опускаются. Вместо знака
конъюнкции &
или
можно ставить точку либо вообще ничего
не ставить.
Пусть имеются три
высказывания
.
Над ними с помощью логических операций
можно составить любое количество сколь
угодно сложных выражений, которые
согласно определению и будут являться
формулами. Например, выражения
,
,
являются
формулами. Первая из них есть импликация,
посылка которой является конъюнкция
высказываний
и
,
а следствием – отрицание высказывания
.
Таким же образом можно описать и другие
формулы.
С учетом приоритетности выполнения логических операций и опускания знака конъюнкции, данные формулы можно записать более компактно и наглядно:
,
,
.
Здесь вторая формула не упрощается, так как если убрать скобки, то изменится порядок (приоритетность) выполнения операций.
Нам
более привычны формулы типа
(формула длины круга) или
(формула потенциальной энергии тела) и
им подобные. Однако выражение
также является формулой – формулой
схемы конструирования сложных составных
высказываний из более простых.
Переменные в формулах, вместо которых можно подставлять высказывания, то есть переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями.
Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.
Например,
для формулы
таблица истинности имеет вид,
представленный в табл. 2.1.
Нетрудно
видеть, что если формула содержит
переменных (элементарных
высказываний), то она принимает
значений,
состоящих из нулей и единиц, то есть
таблица истинности будет содержать
строк.
Таблица 2.1
Таблица истинности операций формулы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
