1.2. Задания к выполнению работы

1 . Пусть a - высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», b - высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать словесную формулировку высказываний.

1 ) 2) 3) 4) ; 5) .

Решение примера 1.

«Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике».

2. Определить, какие из следующих предложений являются высказываниями, и установить, если это возможно, истинны они или ложны:

1) Москва – столица России;

2) Студент физико-математического факультета;

3) ;

4) Луна есть спутник Марса;

5) Сумма углов в треугольнике равна 180°;

6) ;

7) На улице идет дождь.

Решение примера 1.

Согласно определению высказывание – это утвердительное повествовательное предложение, которое для данных условий места и времени является либо истинным, либо ложным. Из определения следует, что первое предложение отвечает данному определению, следовательно, оно является высказыванием. Поскольку Москва действительно является столицей России, то данное высказывание истинно.

3. Среди следующих высказываний указать элементарные и составные. В составных высказываниях выделить грамматические связки:

1) число 27 не делится на 3;

2) число 15 делится на 5 и на 3;

3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;

4) число 7 является делителем числа 42;

5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.

Решение примера 1.

Согласно определению, высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым или элементарным.

Другое определение - высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», называются сложными или составными.

Согласно данным определениям, первое высказывание состоит из одного простого утверждения: «число 27 делится на 3», и грамматической связки «не», с помощью которой образуется новое высказывание «число 27 не делится на 3», которое, следовательно, становится составным.

4. Пусть p и q обозначают высказывания;

p - «Я учусь в школе», q – «Я люблю математику».

Прочитайте следующие сложные высказывания:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) .

Решение примера 1.

«Я не учусь в школе».

5. Какие из следующих импликаций истинны?

1) Если ; 2) Если ;

3) Если ; 4) Если .

Решение примера 1.

Согласно определению, имликацией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается ложным, если истинно, а - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

В данном примере высказыванием х является выражение , которое является истинным, а высказыванием у – выражение , которое также является истинным, следовательно, импликация, представленная выражением (1) согласно определению является истинным.

6. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Решение примера 1.

Данный пример имеет операцию конъюнкции. Согласно ее определению конъюнкцией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания , истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. В высказывании имеются две переменные а и b, одна из них, а задана и равна 1, другая b не задана и поэтому может принимать любое значение: или 1, или 0. Поскольку при значении b = 1 выражение становится неверным, то данные являются противоречивыми.

7. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) :

13) ; 14) .

Решение примера 1.

Тождественно истинная формула – формула, которая принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Данный пример имеет операцию импликации. Импликацией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается ложным, если истинно, а - ложно, и истинным во всех остальных случаях. В примере и условие , и следствие равны , следовательно, согласно определению операции импликации формула является тождественно истинной, поскольку ложной она является только когда условие истинное, а следствие ложное, то есть когда они имеют разное значение. В нашем примере они всегда одинаковы, следовательно, при любых значениях формула принимает значение 1 и является тождественно истинной.

8. Найдите логические значения и , при которых выполняются равенства:

1) ; 2) ; 3) .

Решение примера 1.

Импликация данного примера равна 0, если условие равно 1, а следствие . Условие , представляющее собой импликацию равно 1, только если . Отсюда значение , а .

9. Определить значения следующих выражений при заданных условиях.

1) Известно, что импликация истинна, а эквивалентность ложна. Что можно сказать о значении импликации ?

2) Известно, что эквивалентность истинна. Что можно сказать о значении

и ?

3 ) Известно, что имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации ; ?

4) Известно, что имеет значение 1. Что можно сказать о значениях

; ; ?

Решение примера 1.

Рассмотрим эквивалентность , которая ложна. Согласно определению эквивалентность ложна, если члены эквивалентности имеют разные значения, то есть значение не равно значению . Далее используем то условие, что импликация истинна. Согласно определению импликации при разных значениях и она может быть истинной только, если условие ложно, а истинно. Отсюда следует, что импликация ложна.

10. Пусть , , . Определить логические значения нижеследующих сложных высказываний:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Решение примера 1.

.

1 1. Показать, что логические связки , , , , где л - фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация .

12. Составить таблицы истинности для формул:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Решение примера 7.

В таблице истинности должны быть все комбинации нулей и единиц всех независимых переменных. Поскольку число независимых переменных равно , которое в числовом выражении может быть любым, то необходимо найти закономерности, при которых функция сохраняет свое значения и приводить те значения переменных (строк), на которых функция меняет свое значение.

Таблица 1.6

Таблица истинности к примеру 7

		…
0	0	…	0	0	1
0	0	…	0	1	1
0	0	…	1	0	1
…	…	…	…	…	…
0	1	…	1	0	0
0	1	…	1	1	1
…	…	…	…	…	…
1	1	…	1	1	1

13. Исключающей дизъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое (читают «либо , либо »), которое истинно, когда одно и только одно из данных высказываний истинно, и ложно в остальных случаях. Составить таблицу истинности исключающей дизъюнкции и выразить ее через основные операции над высказываниями.