1.1.2. Логические операции над высказываниями

1. Отрицание высказывания. Отрицанием высказывания называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание истинно.

Отрицание высказывания обозначается и читается «не » или «неверно, что ». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Таблица истинности операции отрицания

0	1
1	0

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Таблица истинности – это таблица, в которой всем значениям высказываний (переменных 0 или 1) поставлен в соответствие результат выполнения логической операции над высказыванием или над формулой алгебры логики в виде 0 или 1.

О формулах алгебры логики будет сказано ниже.

Пример 1.2

Применим операцию отрицания к высказыванию : «Нева впадает в Финский залив». Отрицание этого высказывания можно читать так: «Неверно, что », то есть «Неверно, что Нева впадает в Финский залив». Перенесем в соответствии с правилами русской грамматики частицу «не» в такое место предложения, чтобы оно звучало именно по-русски, обычно для этого «не» ставят перед сказуемым. Тогда отрицание высказывания примет следующий вид: «Нева не впадает в Финский залив».

Таблица 1.1 дает для данного высказывания следующее логическое значение: или , то есть высказывание ложно. Ложность высказывания обусловлена только истинностью исходного высказывания и определением, которое мы дали для отрицания высказывания, но никак не самим содержанием, смыслом высказывания .

Пусть – высказывание. Так как также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания и читается как «неверно, что не ». Очевидно, что логические значения высказываний и совпадают .

Пример 1.3

Пусть имеем высказывание : «Река Нева вытекает из озера Ладога». Отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Нева вытекает из озера Ладога» или «Река Нева не вытекает из озера Ладога». А двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что река Нева не вытекает из озера Ладога», то есть исходное высказывание «Река Нева вытекает из озера Ладога».

2. Конъюнкция двух высказываний (логическое умножение). Термин происходит от лат. conjunctio - соединение.

Конъюнкцией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания , истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция высказываний , обозначается символом «&» или « » и читается « и ». Высказывания , называются членами конъюнкции.

Логические значения конъюнкции описываются таблицей истинности операции конъюнкции (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Таблица истинности операции конъюнкции

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример 1.4

Применим операцию конъюнкции к высказываниям : «Саратов находится на берегу Невы» и : «Все люди смертны». Тогда получим высказывание : «Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны». Естественно, мы не воспримем это высказывание как истинное из-за первой, ложной, его части. К такому же выводу придем, исходя из логических значений исходных высказываний , , определения конъюнкции и на основании приведенной таблицы истинности (табл. 1.2). Действительно, = .

Пример.1.5

Из определения операции конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда ложно.

Пусть имеем простое высказывание : «Москва – столица России», тогда : «Москва не столица России». Конъюнкция будет читаться так: «Москва – столица России, и Москва не столица России», что очевидно абсурдно. В соответствии с логическими значениями будем иметь: или, переставив высказывания местами, получим тот же самый результат .

3. Дизъюнкция двух высказываний (логическое сложение). Термин происходит от лат. dusjunctio - разъединение.

Дизъюнкцией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний , истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний , обозначается символом « » и читается « или ». Высказывания , называются членами дизъюнкциии.

Логические значения дизъюнкции связаны с логическими значениями высказываний , , как указано в таблице истинности операции дизъюнкции.

Таблица 1.3

Таблица истинности операции дизъюнкции

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример 1.6

Пусть имеется высказывание « или »: «В треугольнике угол или острый». Это высказывание истинно, так как обязательно истинно хотя бы одно из высказываний : «В треугольнике угол острый», : «В треугольнике угол острый».

К такому же выводу придем, исходя из логических значений исходных высказываний , , определения дизъюнкции и на основании приведенной таблицы истинности (см. табл. 1.3). Действительно, = .

В повседневной жизни союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и неисключающем. Так, если в приведенном высказывании о треугольнике союз «или» используется в не исключающем смысле, так как оба высказывания не отрицают друг друга, то в высказывании «Или ты сейчас играешь на компъютере, или ты завтра не пойдешь играть в футбол» союз «или» используется в исключающем смысле, так как одно высказывание «Или ты сейчас играешь на компъютере» исключает другое «Или ты завтра не пойдешь играть в футбол».

Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно, то есть .

4. Импликация двух высказываний. Термин происходит от лат. implication – сплетение и implico – тесно связываю.

Импликацией двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается ложным, если истинно, а - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний , обозначается символом « » и читается: «если , то », или «из следует » ", или « влечет », или « достаточно для » и т.д. Высказывания , называются членами импликации. Высказывание называется условием, посылкой или антецедентом, высказывание - следствием, заключением или консеквентом, высказывание - следованием или импликацией.

Логические значения импликации связаны с логическими значениями высказываний , , как указано в таблице истинности операции импликации (табл. 1.4).

Таблица 1.4

Таблица истинности операции импликации

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5. Эквивалентность (эквиваленция) двух высказываний. Эквивалентностью двух высказываний , называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания , либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквивалентность высказываний , обозначается символом « » и читается: «для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы » или « тогда и только тогда, когда », или « эквивалентно », или « , если и только если ». Высказывания , называются членами эквивалентности (эквиваленции).

Логические значения эквивалентности связаны с логическими значениями высказываний , , как указано в таблице истинности операции эквивалентности.

Таблица 1.5

Таблица истинности операции эквивалентности

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример 1.7

Сложное высказывание – эквивалентность «Треугольник с вершиной В и основанием АС равнобедренный тогда и только тогда, когда » является истиной, так как простые высказывания «Треугольник с вершиной В и основанием АС равнобедренный» и « В треугольнике с вершиной В и основанием АС » либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Действительно, исходя из логических значений и используя таблицу истинности эквивалентности (см. табл. 1.5), получим .

Пример 1.8

Высказывание «13 < 5 тогда и только тогда, когда снег белый», являющееся эквивалентностью высказываний «13 < 5» и «снег белый» ложно, так как ложно первое высказывание и истинно второе. Логические значения также свидетельствуют об этом .

Эквивалентность имеет большое значение в математических доказательствах. Значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. Тогда, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.