9.2. Задания к выполнению работы
1.
Среди
нижеследующих предложений выделить
предикаты и для каждого из них указать
область истинности, если область
определения предикатов М
совпадает с множеством действительных
чисел
для одноместных предикатов и
для двухместных предикатов.
1)
;
2) при
выполняется равенство
;
3)
;
4) существует такое число , что ;
5)
;
6) однозначное число кратно 2;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Решение примера 1.
Поскольку
данное предложение является уравнением
с одной переменной
,
то оно представляет собой одноместный
предикат
.
Область истинности данного предиката
– это множество значений переменной
,
при которых выполняется данное уравнение,
то есть
и тогда
.
Решение примера 2.
Данное предложение не является предикатом, поскольку оно представляет собой высказывание из логики высказываний, которое в данном случае истинно.
Решение примера 9.
Поскольку
данное предложение является уравнением
с двумя переменными
и
,
то оно представляет собой двухместный
предикат
.
Область истинности данного предиката
– это множество значений переменных
и
,
при которых выполняется данное уравнение,
то есть
,
и тогда
.
2. Какие из следующих предикатов являются тождественно истинными:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Решение примера 1.
Согласно определению, «тождественно истинный предикат – это предикат, принимающий значение 1 при всех значениях . Для него выполняется условие ». Предикат 1 отвечает данному определению, поскольку при любых значениях и выполняется приведенное выражение, следовательно, это тождественно истинный предикат.
3. Среди предложений выделить предикаты, для каждого из них указать одну из возможных областей определения и в соответствии с ней – область истинности.
1) Земля ближе к солнцу, чем Венера;
2) Планеты и принадлежат Солнечной системе;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
Любое простое число
не имеет делителей, отличных от себя и
1;
7)
Ромб АВСD
равен ромбу
;
8) Натуральное число не меньше 1;
9)
;
10)
;
11)
.
Решение примера 1.
Данное предложение не является предикатом, поскольку оно представляет собой высказывание из логики высказываний, которое в данном случае ложно.
Решение примера 2.
Данное предложение является предикатом, поскольку здесь явно выражена функция двух переменных и , под которыми понимаются все планеты, существующие во Вселенной и, в частности, в Солнечной системе.
Область определения этого предиката – множество планет, существующих во Вселенной, в том числе, и в Солнечной системе.
Множество
истинности данного
предиката – это множество всех планет,
при которых предикат принимает значение
«истина». Такое условие выполняется
для всех планет Солнечной системы
={Меркурий,
Венера, Земля, Марс,…}.
4. На
множестве
заданы два предиката
:
«
– простое число»,
:
«
– нечетное число». Составить их таблицы
истинности. Равносильны ли предикаты
и
на множествах:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Решение примера на множестве .
Таблица истинности предикатов:
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
В таблице единицей обозначено истинное значение предиката и нулем – ложное.
Из таблицы видно, что данные предикаты неравносильны.
5. Найти множество истинности предикатов.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
При нахождении множества истинности предикатов такого вида необходимо находить решения данных выражений, которые в одних случаях представляют собой уравнения, в других – неравенства или просто отношение различных выражений.
Решение примера 1.
Согласно
определению «множество истинности
предиката
– это множество всех элементов
,
при которых предикат принимает значение
«истина (1)». В примере квадратное
уравнение
имеет корни
,
при которых оно становится истинным.
Следовательно, множество истинности
этогопредиката
или более короткая запись:
.
Решение примера 2.
Уравнение
корней не имеет, следовательно,
.
6. Найти множество истинности конъюнкций следующих предикатов, в которых предметные переменные принадлежат множеству всех действительных чисел R.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
6)
7)
.
Решение примера 1.
Множество
истинности предикатов
,
.
,
.
Отсюда множество истинности конъюнкции
предикатов
.
7. Среди нижеследующих выражений установить, какие из них являются формулами предикатов, а какие не являются.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Решение примера 1.
Данное
выражение не является формулой логики
предикатов, так как квантор существования
употреблен для уже связанной квантором
всеобщности
переменной
.
Решение примера 2.
Выражение является формулой логики предикатов, в которой – связанная переменная, а – свободная.
8.
На множестве однозначных натуральных
чисел даны два предиката: предикат
:
«число 3
делитель
»;
предикат
:
«
».
Найти множество истинности предикатов
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
.
Решение примера 1.
Множество
истинности данных предикатов на множестве
однозначных
натуральных чисел
:
;
:
.
Тогда множество истинности дизъюнкции
данных предикатов будет равно их
объединению:
.
Решение примера 7.
Сначала приводим предикат к конъюктивно-дизъюнктивной форме:
Далее
находим множество истинности предикатов
и
:
:
;
:
.
Тогда множество истинности исходного предиката
.
9.
На множестве
заданы предикаты:
: « не делится на 5»;
: « – четное число»;
:
«
–
простое число
5»;
:
«
кратно
3».
Найти множество истинности следующих предикатов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
.
Решение примера 19.
Приводим предикат к конъюнктивно-дизъюнктивной форме
Находим множество истинности простых предикатов, составляющих исходный сложный предикат примера:
.
.
.
.
10. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны, при условии, что область определения предикатов совпадает с множеством действительных чисел R.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Решение примера 1.
Для решения необходимо находить либо корни уравнений, представленных в предикатах, либо множества действительных чисел, для которых они выполняются.
Высказывание,
определенное предикатом примера,
является ложным, поскольку при любых
не существует
такого значения, при котором выполняется
условие
.
11.
Предикат
:
«
есть простое
число»;
предикат
:
«
есть
действительное число»;
предикат
:
«
меньше
»; предикат
:
«
есть
рациональное число»;.
Записать следующие утверждения, используя
кванторы:
1) каждое рациональное число есть действительное число;
2) существует число, которое является простым;
3)
для каждого числа
существует такое число
,
что
.
Решение примера 1.
.
12. Получить нормальную форму для формул:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение примера 1.
Поскольку согласно определению «предваренная нормальная форма логики предикатов – форма, в которой кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо они используются после всех операций алгебры логики», то решение таких задач сводится к разделению формулы на две части: часть, содержащую только кванторы, и часть, содержащую только предикаты.
Для начала приводим формулу к нормальной форме, то есть форме, которая содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания относится к элементарным формулам
Далее используем равносильность (1) : для преобразования предиката с отрицанием
Затем
применяем закон де Моргана для снятия
общего отрицания
Наконец, используя правила выноса кванторов за скобки, получим
13. Записать, введя необходимые предикаты в виде формулы логики предикатов, следующие заключения.
1) Друг моего друга – мой друг.
2) Если всякий разумный философ – циник, и только женщины являются разумными философами, то тогда, если существуют разумные философы, некоторые из женщин – циники.
3) Все политики – лицедеи. Некоторые лицедеи – лицемеры. Значит, некоторые политики – лицемеры.
4) Глупец был бы способен на это. Я на это не способен. Значит, я не глупец.
5) Каждый любит сам себя. Значит, кого-то кто-нибудь любит.
6) Все греки – люди. Все люди – смертны. Следовательно, все греки смертны.
Решение примера 1.
– друг моего друга; – мой друг.
.