9.1.5. Равносильные формулы логики предикатов

Равносильные формулы логики предикатов на области М – это формулы, которые принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Равносильные формулы логики предикатов – это формулы, которые принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к любой области.

Все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Кроме того, существуют и равносильности самой логики предикатов. Для простоты обозначения равносильность формул будем обозначать традиционным знаком равенства «=».

Равносильности логики предикатов. и – переменные предикаты, С – переменное высказывание.

1 . .

2. .

3. .

4. .

5 . .

6. .

7. .

8. .

9 . .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

1 6. .

17. .

Равносильность 1 читается следующим образом: если не для всех истинно , то существует , при котором будет истиной .

Равносильность 2: если не существует , при котором истинно , то для всех будет истиной .

Аналогичным образом можно прочитать и другие равносильности.

Некоторые равносильности легко доказываются на основании ранее приведенных равносильностей. Например, равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2 соответственно, если от обеих их частей взять отрицания и воспользоваться законом двойного отрицания.

Кроме указанных равносильностей можно получить любую равносильную формулу, заменяя связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора.

Например , .

9.1.6. Предваренная нормальная форма

Нормальная форма логики предикатов – формула, которая содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к элементарным формулам.

Используя равносильности алгебры высказываний и логики предикатов, каждую формулу логики предикатов можно привести к нормальной форме.

Пример 9.4

Привести к нормальной форме формулу

.

Решение. Используем равносильные преобразования, которые ранее использовались в алгебре высказываний , получим

Среди формальных форм формул алгебры логики предикатов важное значение имеют так называемы предваренные нормальные формы (ПНФ).

Предваренная нормальная форма логики предикатов – форма, в которой кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо они используются после всех операций алгебры логики. Такая формула имеет вид

,

где – один из кванторов или ;

А – формула, не содержащая кванторов.

Теорема. Любая формула логики предикатов может быть приведена к предваренной нормальной форме.

Если в процессе приведения формулы логики предикатов к ПНФ встречается выражение или выражение , то следует воспользоваться равносильностями 5 и 10.

Пример 9.5

Привести к ПНФ формулу .

Решение

9.1.7. Общезначимость и выполнимость формул

Формула логики предикатов, выполнимая в области М, – формула, в которой существуют значения переменных, отнесенных к области М, при которых формула принимает истинные значения.

Выполнимая формула логики предикатов – формула, для которой существует область, в которой она выполнима.

Из определения 2 следует, что если формула выполнима, то это еще не значит, что она выполнима в любой области.

Тождественно истинная в области М формула логики предикатов – формула, которая принимает истинные значения при всех значениях переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М.

Общезначимая формула логики предикатов – формула, которая тождественно истинная в любой области.

Тождественно ложная в области М формула логики предикатов – формула, которая принимает ложные значения при всех значениях переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполнима во всякой области.

2. Если формула А тождественно истинная в области М, то она и выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложная в области М, то она невыполнима в этой области.

4. Если формула А невыполнима, то она тождественно ложна на всякой области.

В связи с данными определениями можно выделить два класса формул логики предикатов: выполнимых и невыполнимых формул.

Общезначимая формула по-другому еще называется логическим законом (закон исключенного третьего).

Пример 9.6

Определить класс формулы .

Решение

В соответствии с определением выполнимой формулы следует доказать, что существует область, в которой она выполнима.

При поиске такой области необходимо найти и предикат , для которого формула выполнима.

Пусть имеется предикат « », определенный в бесконечной области , где , тогда формула (читается «для всякого существует , для которых выполняется предикат , в данном случае предикат-условие « ») тождественно истинная в области М и, следовательно, выполнима в этой области. Таким образом, исходная формула при данных условиях относится к классу выполнимых

Рассмотрим этот же предикат в конечной области , где . Тогда формула будет тождественно ложной в области , поскольку при условие « » не выполняется и, следовательно, не выполнима в области .

Из рассмотренного выше следует, что формула не общезначима.

Общезначимость и выполнимость связаны между собой, что устанавливают следующие теоремы.

Теорема 1. Для того, чтобы формула А была общезначима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание было не выполнимо.

Так, если формула А общезначима, то тогда – тождественно ложная формула в любой области, и поэтому формула невыполнима.

Теорема 2. Для того чтобы формула А была выполнимой, необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание было не общезначимо.

Так, если формула А выполнима, то существует область М и набор значений переменных, при которых формула А принимает истинное значение, тогда формула – принимает ложное значение, и поэтому формула не общезначима.