9.1.3. Понятие формулы логики предикатов

В логике предикатов используется следующая символика.

1. Символы – переменные высказывания, принимающие два значения: 1– истина, 0 – ложь.

2. Предметные переменные – , которые принимают значения из некоторого множества ;

Предметные константы – – значения предметных переменных.

3. Одноместные предикатные переменные – ;

-местные предикатные переменные – ;

Символы постоянных предикатов – .

4. Символы логических операции: , , , , .

5. Символы кванторных операций: , .

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение формулы логики предикатов

1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой (элементарной).

2. Если – -местная предикатная переменная или постоянный предикат, а – предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все различные), то есть формула.

Формула, в которой предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами, называется элементарной.

3. Если и – формулы, в которых одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой – свободной, то слова , , есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободными, являются свободными, а те, которые были связанные, являются связанными.

4. Если – формула, то – формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы к формуле не меняется.

5. Если – формула, в которую предметная переменная входит свободно, то слова и являются формулами, причем предметная переменная входит в них связанно.

6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1-5, не является формулой.

Например, если и – одноместный и двухместный предикаты, а – переменные высказывания, то формулами будут слова: , , , , .

Не является формулой слово: . В данном случае нарушено условие п. 3, так как в формулу переменная входит связанно, а в формулу переменная входит свободно.

Из определения формулы логики предикатов следует, что любая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.

9.1.4. Значение формулы логики предикатов

Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных:

1. входящих в формулу переменных высказываний;

2. свободных предметных переменных из множества М;

3. предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.

Пример 9.3

Показать, при каких значениях переменных формула

,

в которой двухместный предикат определен на множестве , где , является истинной или ложной.

Решение. В данную формулу входит переменный предикат (предикат переменный, поскольку в нем – свободная переменная), предметные переменные , две из которых и связаны кванторами, и – свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката фиксированный предикат , например, « », а свободной переменной придадим значение . Тогда при значениях , меньших , предикат : принимает значение ложь, а импликация при всех принимает значение истина, то есть высказывание имеет значение «истина».

Можно подобрать другие фиксированные предикаты, при которых это высказывание будет истинным.