9.1.1. Логические операции над предикатами

Предикаты, как и высказывания в алгебре высказываний (логики), могут принимать два значения (0 и 1), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. При этом будут сохранены и обозначения, и названия логических операций, а также будут сохраняться таблицы истинности логических операций.

Рассмотрим применение логических операций логики высказываний к предикатам на примере одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве определены два предиката и .

1. Отрицание предиката. Отрицанием предиката называется новый предикат , который считается истинным при тех значениях , при которых предикат ложен, и ложным при тех значениях , при которых предикат истинен.

Из этого определения следует, что .

2. Конъюнкция двух предикатов. Конъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным, если оба предиката при значениях истинны, и ложным, если хотя бы один из предикатов ложен.

Ясно, что областью истинности предиката является общая часть областей истинности предикатов и , то есть пересечение .

Например, для предикатов : « – четное число» и : « – кратно 5» конъюнкцией является предикат « – нечетное число и – кратно 5», который фактически может быть представлен предикатом « делится на 10».

3. Дизъюнкция двух предикатов. Дизъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным, если хотя бы один из предикатов истинен при значениях , и ложным, если оба предиката ложны.

Областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов и , то есть объединение .

4. Импликация двух предикатов. Импликацией двух предикатов и называется новый предикат , который считается ложным при тех значениях , при которых одновременно истинно, а ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Так как при каждом значении справедлива равносильность , то .

5. Эквивалентность (эквиваленция) двух предикатов. Эквивалентностью двух предикатов и называется новый предикат , который считается истинным при тех значениях , при которых о и либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Так как при каждом значении справедлива равносильность

то .

9.1.2. Кванторные операции

Из вышесказанного следует, что для превращения одноместного предиката в высказывание нужно подставить вместо его переменной какой-нибудь конкретный предмет из области задания предиката. Такое высказывание называется единичным.

Помимо указанной процедуры образования единичных высказываний в логике предикатов имеются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Это применение к предикату операций связывания квантором всеобщности или квантором существования. Каждая такая операция ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката. Кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае бесконечных областей.

Квантор (от лат. quantum – сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа "все", "каждый", "некоторый", "существует", "имеется", "любой", "всякий", "единственный", "несколько", "бесконечно много", "конечное число", а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным использование двух вышеуказанных кванторов.

1. Квантор всеобщности .

Операция связывания квантором всеобщности – это операция, по которой каждому одноместному предикату , определенному на множестве , сопоставляется высказывание , которое истинно, если истинно для каждого элемента , и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение записывается так «Для всякого истинно».

Операция связывания квантором всеобщности обозначается символом (происходит от первой буквы англ. Аll – «все» ). Сам символ называют квантором общности по переменной . Переменная в предикате называется свободной переменной ( любое из ), а в высказывании переменную называют связанной переменной. Высказывание называется универсальным высказыванием для предиката .

2. Квантор существования .

Операция связывания квантором существования – это операция, по которой каждому одноместному предикату , определенному на множестве , сопоставляется высказывание , которое истинно, если истинно для каждого элемента , и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение записывается так: «Существует , при котором истинно».

Операция связывания квантором всеобщности обозначается символом (происходит от первой буквы англ. Exist – «существовать»). Сам символ называют квантором существования по переменной . Переменная в предикате называется свободной переменной ( любое из ), а в высказывании переменную называют связанной переменной. Высказывание называется экзистенциональным высказыванием для предиката .

Пример 9.1

Пусть на множестве натуральных чисел задан предикат : «Число кратно 5» . Привести способы его использования.

Решение. Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывание – «Все натуральные числа кратны 5» или высказывание – «Существует натуральное число, кратное 5». Ясно, что первое высказывание ложно, а второе истинно.

Высказывание истинно только в единственном случае, когда – тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только в том единственном случае, когда – тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть задан многоместный предикат на множестве . Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат или , зависящий от переменной и не зависящий от переменной . К ним уже можно применять кванторные операции по переменной , которые приведут к высказываниям следующих видов:

, , , .

К двухместному предикату можно применить кванторные операции по обеим переменным. Рассмотрим предикат : « », где и натуральные числа. Тогда получим восемь высказываний:

1. – «Для всякого и для всякого является делителем ».

2. – «Существует , которое для всякого является делимым».

3. – «Для всякого существует , которое является делителем ».

4. – «Существует и существует такие, что является делителем ».

5. – «Для всякого и для всякого является делителем ».

6. – «Для всякого существует , которое является делимым для ».

7. – «Существует и существует , такие, что является делителем ».

8. – «Существует , которое для всякого является делителем».

Из анализа высказываний видно, что 1, 2, 5 и 8 высказывания ложны, а высказывания 3, 4, 6 и 7 истинны.

Так, например, высказывание 1 является ложным, поскольку не может всякое делиться на всякое без остатка. А высказывание 3 является истинным, поскольку, действительно, для любого можно, по крайне мере, найти число , на которое любое число делится без остатка. Аналогичные рассуждения можно привести и для других оставшихся высказываний.

Из рассмотренных примеров видно, что изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, и следовательно, его логическое значение (например, высказывание 2: ложно, а высказывание 6: истинно).

Пример 9.2

Установить истинность или ложность высказывания , состоящего из двух предикатов и , то есть .

Решение

Сначала находим корни квадратного уравнения, для того, чтобы определить множество истинности предиката то есть множество всех элементов , при которых предикат принимает значение истина. В данном случае это означает, что необходимо найти те значения , при которых выполняется квадратное уравнение.

, , , .

Преобразуем исходное высказывание

Для первого предиката справедливо равенство , для второго , то есть оба высказывания истинны. Тогда в соответствии с определением импликации двух предикатов следует, что исходное высказывание является также истинным. Таким образом, существуют такие , при которых данное высказывание является истинным.