
- •Н. Г. Моисеев математическая логика и теория алгоритмов
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Техника безопасности при выполнении лабораторных работ
- •1. Общие требования безопасности
- •2. Требования безопасности перед началом работы
- •3. Требования безопасности во время работы
- •4. Требования безопасности в аварийной обстановке
- •5. Требования безопасности по окончании работы
- •6. Ответственность
- •Лабораторная работа № 1 алгебра высказываний и логические операции над ними
- •1.1. Теоретическая часть
- •1.1.1. Высказывания и операции над ними. Понятие высказывания
- •1.1.2. Логические операции над высказываниями
- •1.2. Задания к выполнению работы
- •1.3. Контрольные вопросы
- •2.1.1. Формулы алгебры высказываний
- •2.1.1. Равносильные формулы алгебры высказываний
- •I. Основные равносильности:
- •II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:
- •III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:
- •2.2. Задания к выполнению работы
- •2.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 3 функции алгебры логики. Совершенные нормальные формы
- •3.1. Теоретическая часть
- •3.1.1. Функции алгебры логики
- •3.1.2. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
- •3.1.3. Закон двойственности
- •3.1.4. Дизъюнктивная нормальная форма (днф) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф)
- •3.1.5. Конъюнктивная нормальная форма (кнф) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)
- •3.1.6. Проблема разрешимости
- •3.2. Задания к выполнению работы
- •Сднф и скнф операции конъюнкции
- •3.3. Контрольные вопросы
- •4.1.1. Основные понятия релейно-контакных схем
- •4.1.2. Реализация с помощью релейно-контакных схем основных логических операций
- •4.2. Задания к выполнению работы
- •4.3. Контрольные вопросы
- •5.2. Задания к выполнению работы
- •5.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 6 построение доказательств в логике высказываний
- •6.1. Теоретическая часть
- •6.1.1. Основные понятия и определения, используемые при построении доказательств в логике высказываний
- •6.1.2. Аксиоматический метод доказательства логических выражений
- •6.1.3. Конструктивный метод доказательства логических выражений
- •Метод доказательства логических выражений
- •6.1.4. Принцип резолюций
- •6.1.5. Метод Вонга
- •6.1.6. Метод натурального исчисления
- •6.2. Задания к выполнению работы
- •6.3. Контрольные вопросы
- •7.1.1. Составление легенд на основе клауз
- •7.1.2. Составление клауз на основе легенд
- •7.2. Задания к выполнению работы
- •7.3. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Формулы исчисления высказываний
- •8.1.2. Определение доказуемой формулы
- •1. Система аксиом исчисления высказываний
- •2. Правила вывода
- •1. Правило подстановки
- •2. Правило заключения.
- •3. Определение доказуемой формулы
- •8.1.3. Производные правила вывода
- •8.1.4. Понятие выводимости формулы из совокупности формул
- •8.1.5. Понятие вывода
- •8.1.6. Правила выводимости
- •13. Правило исключения третьего в доказуемых формулах
- •8.1.7. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний
- •Теоремы, устанавливающие связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний
- •8.2. Задания к выполнению работы
- •8.3. Контрольные вопросы
- •9.1.1. Логические операции над предикатами
- •9.1.2. Кванторные операции
- •9.1.3. Понятие формулы логики предикатов
- •9.1.4. Значение формулы логики предикатов
- •9.1.5. Равносильные формулы логики предикатов
- •9.1.6. Предваренная нормальная форма
- •9.1.7. Общезначимость и выполнимость формул
- •9.2. Задания к выполнению работы
- •9.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 10 алгоритмы и их применение
- •10.1. Теоретическая часть
- •10.1.1. Характерные черты алгоритма и основные требования к алгоритмическим процедурам
- •10.1.2. Классификация алгоритмических моделей
- •10.1.3. Машины Тьюринга
- •Тьюрингова функциональная схема
- •Программа (схема) работы машины Тьюринга,
- •10.2. Задания к выполнению работы
- •10.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Заключение
- •424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3
- •424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17
8.3. Контрольные вопросы
1. В чем заключается отличие исчисления высказываний от алгебры высказываний?
2. Из чего состоит алфавит исчисления высказываний?
3. Дать определение формулы исчисления высказываний.
4. Дать понятие подформулы исчисления высказываний.
5. Привести первую и вторую группу аксиом.
6. Привести третью и четвертую группу аксиом.
7. Сформулировать правило подстановки и правило заключения.
8. Определение доказуемой формулы.
9. Пояснить правило одновременной подстановки, сложного заключения, правило силлогизма, контрпозиции и снятия двойного отрицания.
10. Определение формулы, выводимой из совокупности .
11. Привести понятие вывода.
12. Привести основные правила выводимости.
13. Теорема дедукции и обобщенная теорема дедукции.
14. Привести правило введения конъюнкции и дизъюнкции.
15. Сформулировать правило перестановки, соединения и разъединения посылок. Правило исключения третьего.
16. Привести формулировку трех теорем, устанавливающих связь между основными положениями алгебры высказываний и исчисления высказываний.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
1. Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998.
Лабораторная работа № 9
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение логики предикатов с учетом структуры и содержания высказываний и приобретение практических навыков в совершении логических операций над предикатами.
9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
При изучении алгебры высказываний сами высказывания рассматривались как нераздельные целые и только с учетом их истинности или ложности. Ни структура, ни содержание высказываний при этом не затрагиваются. Однако не всякие высказывания и не любые логические рассуждения могут быть описаны на языке исчисления высказываний, поскольку и в науке, и в практике используются заключения, значительно зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний и в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части. При этом предикаты являются следующим важным предметом, исследуемым математической логикой. Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с алгеброй высказываний, для изучения закономерностей процессов умозаключения и логического следования, составляющих предмет математической логики.
Логика предикатов – это логика, которая расчленяет элементарное высказывание на субъект и предикат.
Субъект (буквально – подлежащее, хотя может быть и дополнением) – это то, о чем что-то утверждается в высказывании.
Предикат (буквально – сказуемое, хотя может играть и роль определения) – это то, что утверждается о субъекте.
Например, в высказывании «Река Волга протекает по европейской части России», «Река Волга» - субъект, «протекает по европейской части России» – предикат.
Если в примере заменим конкретное название реки Волга на переменную из множества рек, протекающих по планете, то получим высказывательную форму «Река протекает по европейской части России». При одних значениях (например, = река Ока, река Кама) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях (например, = река Обь, река Нил) дает ложные высказывания.
Такая высказывательная
форма определяет функцию одной переменной
,
определенной на множестве
(в приведенном примере на множестве рек
планеты), и принимающую значения на
множестве
.
В этом случае предикат становится
функцией субъекта и выражает свойство
субъекта.
Одноместный
предикат
– это произвольная функция переменного
,определенная
на множестве
и принимающая значения из множества
.
Область определения предиката – множество , на котором определен предикат .
Множество
истинности предиката
– это множество всех элементов
,
при которых предикат принимает значение
«истина
(1)».
Таким образом, множество истинности
предиката
– это множество
.
Для нашего примера
предикат
–
«Река
протекает по европейской части России»
определен на множестве
(
множестве рек планеты), а множество
(множество
истинности) для него есть множество
всех рек, протекающих по европейской
части России. Предикат
–
«Диагонали параллелограмма
перпендикулярны» определен на множестве
всех параллелограммов, а его множеством
истинности является множество всех
ромбов.
В противоположность множеству истинности можно привести множество ложности предиката.
Множество
ложности предиката
– это множество всех элементов
,
при которых предикат принимает значение
«ложь
(0)». Таким
образом, множество ложности предиката
– это множество
.
Тождественно истинный предикат – это предикат, принимающий значение 1 при всех значениях . Для него выполняется условие .
Тождественно ложный предикат – это предикат, принимающий значение 0 при всех значениях . Для него выполняется условие .
Выполнимый предикат – это предикат, принимающий значение 1 хотя бы на одном наборе значений .
Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.
Поскольку существует понятие одноместного предиката, то, очевидно, должны существовать понятия двухместного, трехместного и в самом общем случае многоместного ( -местного) предиката.
Двухместный
предикат
– это произвольная функция двух
переменных
и
,
определенная на множестве
и принимающая значения из множества
.
Двухместный предикат служит для выражения бинарного отношения, то есть отношения между двумя предметами, которое может быть отражено словами «меньше» или «больше» либо их равенством.
Например, предикат
– «
»
– предикат равенства, определенный
на множестве
.
– «
»
– предикат параллельных прямых
и
,
определенный на множестве прямых,
лежащих на данной плоскости.
Аналогично может быть определен -местный предикат.