8.3. Контрольные вопросы

1. В чем заключается отличие исчисления высказываний от алгебры высказываний?

2. Из чего состоит алфавит исчисления высказываний?

3. Дать определение формулы исчисления высказываний.

4. Дать понятие подформулы исчисления высказываний.

5. Привести первую и вторую группу аксиом.

6. Привести третью и четвертую группу аксиом.

7. Сформулировать правило подстановки и правило заключения.

8. Определение доказуемой формулы.

9. Пояснить правило одновременной подстановки, сложного заключения, правило силлогизма, контрпозиции и снятия двойного отрицания.

10. Определение формулы, выводимой из совокупности .

11. Привести понятие вывода.

12. Привести основные правила выводимости.

13. Теорема дедукции и обобщенная теорема дедукции.

14. Привести правило введения конъюнкции и дизъюнкции.

15. Сформулировать правило перестановки, соединения и разъединения посылок. Правило исключения третьего.

16. Привести формулировку трех теорем, устанавливающих связь между основными положениями алгебры высказываний и исчисления высказываний.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998.

Лабораторная работа № 9

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение логики предикатов с учетом структуры и содержания высказываний и приобретение практических навыков в совершении логических операций над предикатами.

9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

При изучении алгебры высказываний сами высказывания рассматривались как нераздельные целые и только с учетом их истинности или ложности. Ни структура, ни содержание высказываний при этом не затрагиваются. Однако не всякие высказывания и не любые логические рассуждения могут быть описаны на языке исчисления высказываний, поскольку и в науке, и в практике используются заключения, значительно зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний и в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части. При этом предикаты являются следующим важным предметом, исследуемым математической логикой. Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с алгеброй высказываний, для изучения закономерностей процессов умозаключения и логического следования, составляющих предмет математической логики.

Логика предикатов – это логика, которая расчленяет элементарное высказывание на субъект и предикат.

Субъект (буквально – подлежащее, хотя может быть и дополнением) – это то, о чем что-то утверждается в высказывании.

Предикат (буквально – сказуемое, хотя может играть и роль определения) – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «Река Волга протекает по европейской части России», «Река Волга» - субъект, «протекает по европейской части России» – предикат.

Если в примере заменим конкретное название реки Волга на переменную из множества рек, протекающих по планете, то получим высказывательную форму «Река протекает по европейской части России». При одних значениях (например, = река Ока, река Кама) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях (например, = река Обь, река Нил) дает ложные высказывания.

Такая высказывательная форма определяет функцию одной переменной , определенной на множестве (в приведенном примере на множестве рек планеты), и принимающую значения на множестве . В этом случае предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Одноместный предикат – это произвольная функция переменного ,определенная на множестве и принимающая значения из множества .

Область определения предиката – множество , на котором определен предикат .

Множество истинности предиката – это множество всех элементов , при которых предикат принимает значение «истина (1)». Таким образом, множество истинности предиката – это множество .

Для нашего примера предикат – «Река протекает по европейской части России» определен на множестве ( множестве рек планеты), а множество (множество истинности) для него есть множество всех рек, протекающих по европейской части России. Предикат – «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

В противоположность множеству истинности можно привести множество ложности предиката.

Множество ложности предиката – это множество всех элементов , при которых предикат принимает значение «ложь (0)». Таким образом, множество ложности предиката – это множество .

Тождественно истинный предикат – это предикат, принимающий значение 1 при всех значениях . Для него выполняется условие .

Тождественно ложный предикат – это предикат, принимающий значение 0 при всех значениях . Для него выполняется условие .

Выполнимый предикат – это предикат, принимающий значение 1 хотя бы на одном наборе значений .

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Поскольку существует понятие одноместного предиката, то, очевидно, должны существовать понятия двухместного, трехместного и в самом общем случае многоместного ( -местного) предиката.

Двухместный предикат – это произвольная функция двух переменных и , определенная на множестве и принимающая значения из множества .

Двухместный предикат служит для выражения бинарного отношения, то есть отношения между двумя предметами, которое может быть отражено словами «меньше» или «больше» либо их равенством.

Например, предикат – « » – предикат равенства, определенный на множестве .

– « » – предикат параллельных прямых и , определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично может быть определен -местный предикат.