8.1.5. Понятие вывода

Вывод из конечной совокупности формул – это всякая конечная последовательность формул , любой член которой удовлетворяет одному из следующих условий:

1) он является одной из формул совокупности ,

2) является доказуемой формулой,

3) получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности .

Как было показано в примере 8.4, выводом из совокупности формул является конечная последовательность формул (8.4.10) и (8.4.11).

Из определений выводимой формулы и вывода из совокупности формул следуют свойства вывода:

1. Всякий начальный отрезок вывода из совокупности есть вывод из .

Действительно, все формулы начального отрезка вывода удовлетворяют определению вывода.

2. Если между двумя соседними членами вывода из (или в начале, или в конце его) вставить некоторый вывод из , то полученная новая последовательность формул будет выводом из .

Например, если совокупности формул и являются выводами из , то совокупность по определению вывода является выводом из .

3. Всякий член вывода из совокупности является формулой, выводимой из .

Всякий вывод из является выводом его последней формулы.

4. Если , то всякий вывод из является выводом из .

5. Для того чтобы формула была выводима из совокупности , необходимо и достаточно, чтобы существовал вывод этой формулы из .

8.1.6. Правила выводимости

Пусть и – две совокупности формул исчисления высказываний. Их объединение обозначим через , , то есть

. Если совокупность состоит из одной формулы , то объединение будем записывать в виде .

Основные правила выводимости

1. Если существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей .

Схематическая запись:

.

├

├

2. Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , и существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из совокупности .

.

├ , ├

├

3. Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , и существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей .

.

├ , ├

├

4. Если существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей .

.

├

├

5. Теорема дедукции

Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , то существует и доказуемая формула , выводимая из совокупности .

.

├

├

6. Обобщенная теорема дедукции

Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , то существует и доказуемая формула , выводимая из совокупности .

.

├

├

7. Правило введения конъюнкции

Если существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , и существует доказуемая формула , выводимая из совокупности , то существует и доказуемая формула , выводимая из совокупности .

.

├ , ├

├

8. Правило введения дизъюнкции

Если существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , и существует доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей , то существует и доказуемая формула , выводимая из объединения совокупностей .

.

├ ; ├

├

9. Правило перестановки посылок в доказуемых формулах

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем перестановки посылок и .

├

.

├

10. Правило соединения посылок в доказуемых формулах

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем объединения посылок и .

├

.

├

11. Правило разъединения посылок в доказуемых формулах

Если формула доказуема, то доказуема и формула , полученная из исходной путем разъединения посылок и .

├

.

├

12. ├ .