8.1.3. Производные правила вывода
Производные правила вывода, как и рассмотренные ранее правила подстановки и заключения, дают возможность получать новые доказуемые формулы. Они также получаются с помощью правил подстановки и заключения и поэтому являются производными от них.
1. Правило одновременной подстановки
Пусть А
– доказуемая формула;
– переменные, а
–
любые формулы исчисления высказываний.
Тогда результат
одновременной подстановки в А
вместо переменных
формул
соответственно является доказуемой
формулой.
Схематично операция одновременной подстановки записывается в виде:
├
.
├
2. Правило сложного заключения
Это производное правило применяется к формулам вида
и формулируется таким образом:
Если формулы
и
доказуемы, то и формула
доказуема.
Правило сложного заключения схематично записывается следующим образом:
├
.
├
,…,├
;├
├
3. Правило силлогизма
Если доказуемы формулы А → В и В → С, то доказуема формула А → С. Схематическая запись силлогизма
├
.
├ А → С
4. Правило контрпозиции
Если доказуема
формула
,
то
доказуема формула
.
Схематическая запись контрпозиции
├
.
├
5. Правило снятия двойного отрицания
а) Если
доказуема формула
,
то доказуема формула
.
б)
Если
доказуема формула
,
то доказуема формула
.
Схематическая запись двойного отрицания
.
├
├
├
8.1.4. Понятие выводимости формулы из совокупности формул
Пусть имеется
конечная совокупность формул
.
Тогда формула
выводима из совокупности
(запись
├
),
если
а) либо
,
б) либо – доказуемая формула исчисления высказываний,
в) либо
получается по правилу заключения из
формул
и
,
которые выводимы из совокупности
.
Также можно сказать,
что конечная совокупность формул
есть
вывод из
,
если для каждой формулы (
)
этой совокупности
а) либо
,
б) либо
доказуема,
в) либо получается по правилу заключения из формул и , которые находятся в выводе, предшествуя .
Пример 8.4
Доказать, что из
совокупности
можно
вывести
.
Записать полученный вывод.
Решение
1.
Так как по условию задачи формула
принадлежит
(
),
то по определению выводимой формулы
├ . (8.4.1)
2.
Так
как по условию задачи и формула
принадлежит
(
),то
по определению выводимой формулы
├ . (8.4.2)
3.
На основании аксиомы II3
и
подстановки
получим
доказуемую формулу, которая выводима
из
по
определению выводимой формулы (как
конечная совокупность формул)
├
.
(8.4.3)
4. На
основании аксиомы I1
и
подстановки
получим
доказуемую формулу, которая выводима
из
по
определению
выводимой формулы (как конечная
совокупность формул)
├
.
(8.4.4)
5. Так как формула
,
являющаяся частью формулы (8.4.3),
является доказуемой формулой (см. пример
8.2), то
├ . (8.4.5)
8. Из формул (8.4.3) и (8.4.5) по правилу заключения получим
├
,
├
├ . (8.4.6)
7. Из формул (8.4.2) и (8.4.4) по правилу заключения получим
├
,
├
├
.
(8.4.7)
8. Из формул (8.4.6) и (8.4.7) по правилу заключения получим
├
,
├
├ . (8.4.8)
9. Наконец, из формул (8.4.1) и (8.4.8) по правилу заключения получим
├
,
├
├ . (8.4.9)
Таким образом, доказано, что из совокупности можно вывести формулу .
Данный вывод можно привести в виде короткой записи, последовательно записывая формулы (8.4.1) – (8.4.9).
.
(8.4.10)
Отметим, что при доказательстве выводимости формулы из совокупности формул можно пользоваться не только основным правилом заключения, но и правилом сложного заключения (п. 8.1.3), применяя которое, формулу (8.4.9) можно получить из формул (8.4.5), (8.4.7), (8.4.1) и (8.4.3).
10. Формула (8.4.3) доказуема. Поскольку в эту формулу входят доказуемые формулы, выводимые из совокупности : ( ), ( ) и , то, применяя правило сложного заключения , где доказуемая формула, получим, что и = тоже является доказуемой формулой, выводимой из совокупности .
Таким образом, и с помощью правила сложного заключения доказано, что из совокупности можно вывести формулу .
Данный вывод можно также привести в виде короткой записи, последовательно записывая формулы (8.4.1) – (8.4.5), (8.4.7), (8.4.9).
.