8.1.2. Определение доказуемой формулы

Далее для построения исчисления высказываний необходимо выделить класс доказуемых формул.

Для определения доказуемых формул сначала определяются исходные доказуемые формулы (аксиомы), а затем правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.

Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода называется выводом данной формулы из аксиом.

1. Система аксиом исчисления высказываний

Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом, которые делятся на четыре группы.

Первая группа аксиом:

I₁ .

I₂ .

Вторая группа аксиом:

II₁ .

II₂ .

II₃

Третья группа аксиом:

III₁ .

III₂ .

III₃ .

Четвертая группа аксиом:

IV₁ .

IV ₂ .

IV ₃ .

2. Правила вывода

1. Правило подстановки

Если формула А, доказуема на переменных , то она будет также доказуема после замены всех входящих в нее переменных на произвольную формулу В.

Операция замены в формуле А переменной формулой В носит название подстановки и символически записывается следующим образом:

.

Уточним сформулированное правило.

а) Если формула А есть переменная , то подстановка

дает В.

б) Если формула А есть переменная , отличная от , то подстановка дает А.

в) Если А – формула, для которой подстановка уже определена, то подстановка В вместо в отрицание А есть отрицание подстановки, то есть подстановка

дает .

г) Если А₁ и А₂ – формулы, для которых подстановки уже определены, то подстановка

дает .

Если А – доказуемая формула, то она будет записываться в виде ├А. В этом случае правило подстановки можно записать схематически следующим образом:

├

.

А__

├

Читается эта запись так: «Если формула А доказуема, то доказуема формула ».

2. Правило заключения.

Если формулы и доказуемы в исчислении высказываний, то формула также доказуема.

Схематическая запись этого правила имеет вид:

├А; ├ А→В .

├В

3. Определение доказуемой формулы

а) Всякая аксиома является доказуемой формулой.

б) Формула, полученная из доказуемой формулы путем применения подстановки вместо переменной произвольной формулы , есть доказуемая формула.

в) Формула , полученная из доказуемых формул и путем применения правила заключения, есть доказуемая формула.

г) Никакая другая формула исчисления высказываний не считается доказуемой.

Процесс получения доказуемых формул называется доказательством.

Примеры доказательств (получения доказуемых формул)

Пример 8.2

Доказать, что ├ (рефлексивность импликации).

Решение

1) Воспользуемся аксиомой I₂:

и выполним подстановку . Тогда получим

├ (8.2.1)

2) В данной формуле можно выделить две части, обозначив их буквами и : и , и тогда формулу (8.2.1) можно записать в виде . После этого можно применить правило заключения к аксиоме I₂ и полученной формуле

├

.

;├

├

В результате получим доказуемую формулу

├ . (8.2.2)

3) В формуле (8.2.2) осуществим подстановку

.

В результате получим еще одну доказуемую формулу

├ . (8.2.3)

4) На основании аксиомы IV₂ в составе формулы (8.2.3) имеем доказуемую формулу и пока еще недоказуемую формулу .

Применим правило заключения к аксиоме IV₂ и формуле (8.2.3).

├

.

; ├ ,

├

Получим доказуемую формулу

├ . (8.2.4)

5) Осуществив подстановку в формуле (8.4) вместо формулу , получим

├ .

Пример 8.3

Доказать, что ├ .

Интерпретацией доказуемости данной формулы в алгебре логики является закон де Моргана .

Решение

1) Возьмем аксиому II₃ и выполним в ней последовательно две подстановки, заменяя сначала на , а затем на . В результате получим доказуемую формулу

├ . (8.3.1)

2) В формуле (8.3.1) выполним подстановку , получим

. (8.3.2)

Докажем теперь, что формулы

(8.3.3)

и (8.3.4)

доказуемы.

3) Возьмем аксиому IV₁ и выполним подстановку , получим доказуемую формулу

├ . (8.3.5)

Левая часть в скобках в формуле (8.3.5) представляет собой аксиому III₁ , то есть ├ и . Применяя правило заключения, получим

├

.

; ├ ,

├

Таким образом, формула (8.3.3) доказана.

4) Для доказательства формулы (8.3.4) опять воспользуемся аксиомой IV₁ и произведем в ней последовательно подстановку на , получим ├ , затем на : ├ и, наконец, на :├ .

В данной формуле в левой части получим аксиому III₂: , и .

Применяя правило заключения

├

.

; ├ ,

├

получим доказуемую формулу (8.3.4).

5) Теперь применим правило заключения к формулам (8.3.2) и (8.3.3)

├ ; ├

├

и получим доказуемую формулу

├ . (8.3.6)

Применяя правило заключения к формулам (8.3.4) и (8.3.6), получим

├

.

; ├

├

то есть формула доказана.