7.3. Контрольные вопросы
1. В чем заключается различие в построении доказательств в логике высказываний и логике Буля?
2. Какие символы используются для построения доказательств в алгебре высказываний?
3. Записать причинно-следственное отношение, которое используется для доказательства какого-либо утверждения.
4. Дать определение клаузы. Записать законы рефлексивности, антисимметричности и транзитивности для отношения порядка.
5. Дать определение легенды. Привести пример.
7. Что такое минимальная нормальная форма (МНФ), минимальное и трансверсальное покрытия?
8. По клаузе составить легенду.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
1. Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы / О. Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
Лабораторная работа № 8
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение исчисления высказываний – математической логики, не использующей понятий истинности и ложности.
8.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
При изучении алгебры высказываний использовались логические значения высказываний: истина и ложь. Но понятия истинности и ложности не математические, они часто субъективны и больше относятся к философии. Поэтому желательно построить математическую логику, не пользуясь понятиями истинности и ложности и не применять при этом законов логики.
Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.
8.1.1. Формулы исчисления высказываний
Любое исчисление включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита) и формул.
Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех видов:
1. Переменные
высказывания
–
символы
первого вида.
2. Логические
связки
«
»
– символы
второго вида:
« » – знак дизъюнкции, или логического сложения;
«
»
– знак конъюнкции, или логического
умножения;
« » – знак импликации, или логического следования;
«–» – знак отрицания.
3. Скобки «( )» – символы третьего вида.
Других символов в исчислении высказываний не применяется.
Формула исчисления высказываний – это последовательность символов алфавита исчисления высказываний.
Для условного обозначения формул используют прописные (заглавные) буквы латинского алфавита.
Определение формулы исчисления высказываний
1. Формула
– это всякая переменная
.
2. Если
А
и В
– формулы, то
слова
,
,
,
– также формулы.
3. Никакая другая строчка символов не является формулой.
Элементарная формула – формула, состоящая из переменных высказываний .
Пример 8.1. Формулы исчисления высказываний.
Согласно п. 1 определения формулы, таковыми являются переменные высказывания
Согласно п. 2 определения формулы, таковыми являются слова:
,
,
,
.
Также являются формулами и слова
,
,
.
Однако не являются формулами слова:
,
,
,
,
поскольку в первом слове отсутствуют символ логической связки (символ второго вида) и внешние скобки, во втором слове нет одной переменной перед логической связкой, в третьем слове отсутствует закрывающая скобка, а в четвертом – нет скобок.
Вместе с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.
Подформулой элементарной формулы является только она сама.
Если формула имеет вид , то ее подформулами являются: она сама, формула и все подформулы формулы .
Если формула имеет вид
(здесь и в дальнейшем под символом *
понимается любой из трех символов
,
,
),
то ее подформулами являются: она сама,
формулы А
и
В и
все подформулы формул
А и
В.
Например, для
формулы
ее подформулами будут:
– подформула нулевой глубины,
– подформулы
первой глубины,
– подформулы
второй глубины,
– подформулы
третьей глубины,
– подформула четвертой глубины.
Ясно, что на самой большой глубине находятся лишь элементарные формулы. Но элементарные формулы могут быть и на других глубинах.
В дальнейшем для упрощения формул будем опускать скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний. Тогда формулы будут выглядеть следующим образом:
