6.1.6. Метод натурального исчисления
Недостатком метода Вонга, как и метода резолюций, является то, что исходная клауза обязательно должна иметь нормальную дизъюнктивную или конъюнктивную форму. Этот недостаток исключен в методе натурального исчисления.
Метод натурального исчисления – метод, в котором процедура доказательства сводится к упорядоченной цепи преобразований, связанных с удалением или введением логических связок на основе десяти правил.
1. Правило введения конъюнкции (ВК)
).
2. Правило удаления конъюнкции (УК)
.
3. Правило введения импликации (ВИ)
,
.
4. Правило удаления импликации (УИ)
.
5. Правило введения дизъюнкции (ВД)
.
6. Правило удаления дизъюнкции (УД)
.
7. Правило введения отрицания (ВО)
.
8. Правило удаления отрицания (УО)
.
9. Правило введения эквивалентности (ВЭ)
.
10. Правило удаления эквивалентности (УЭ)
.
Эти правила надо
понимать так: если слева от символа «//»
стоят истинные клаузы, то справа от
символа «//» тоже будут стоять истинные
клаузы. Например, первое правило введения
конъюнкции
можно прочитать следующим образом: если
высказывания А
и В
(связка «и» передается знаком «&»)
порознь истинные (о чем говорят рядом
стоящие с этими буквами символы
метаимпликации «
»),
то будет истинной и их конъюнкция
.
При этом надо помнить, что во всех десяти
правилах перед символом метаимпликации
«
»
может стоять любой перечень посылок Р.
Так, десятое правило может выглядеть
следующим образом:
.
Кроме перечисленных десяти правил, имеется еще одно – базовое правило (БП), которое сначала сформулируем словами: во-первых, любая посылка может выступать в роли следствия, то есть
,
,
будут всегда истинными и не требуют доказательства, так как удовлетворяют аксиоме порядка; во-вторых, в перечень посылок истинной клаузы всегда можно добавить новые посылки, то есть если клауза
верна, то будут истинными и все клаузы, построенные на ее основе
,
.
В обобщенной форме базовое правило можно записать так:
,
где - любая посылка из Р, а - произвольная посылка.
Пример 6.4
Рассмотрим следующую клаузу, представляющую собой тавтологию
.
Доказать справедливость этой клаузы.
Решение
1.
(УИ)
2.
(УИ)
3.
(1, БП)
4.
(2, БП)
5.
(3,4,УО)
6.
(5, ВО)
7.
(6, ВИ)
8.
.
(7, ВИ)
Справа в круглых скобках указаны номер строки, из которой получена данная клауза, а также начальные буквы используемого правила.
Пример 1.27
Доказать клаузу
.
Решение
1.
(УИ)
2.
(1, УИ)
3.
(2, УИ)
4.
(3)
5.
(Р1,
БП)
6.
(5, УИ)
7.
(6,ВД)
8.
(Р2,
БП)
9.
(8, УИ)
10.
(6, ВД)
11.
(Р2,
БП)
12.
(7,10,11, УД)