6.1.5. Метод Вонга

Метод Вонга – метод, в котором используется сконструированная конъюктивно-дизъюнктивная нормальная форма представления исходной клаузы, являющейся клаузой Вонга , а процедура доказательства сводится к последовательному разбиению дизъюнкций или конъюнкций таким образом, чтобы слева и справа от метаимпликации появилась одна и та же буква Х.

В клаузе Вонга переменная Х пробегает некоторые буквы, входящие в клаузу, а и - определенные комбинации дизъюнктов и конъюнктов.

Разберем метод Вонга на примере доказательства справедливости правила отделения

или .

Здесь имеется только одна дизъюнкция, которую можно подвергнуть разбиению. После ее разбиения получим две новых клаузы

и или .

Вторая клауза удовлетворяет и аксиоме порядка, и клаузе Вонга. В качестве Х в ней выступает , а и .

Первая клауза тоже будет удовлетворять необходимым требованиям, но только после того, как терм из левой части клаузы с противоположным знаком перенести в правую часть. Такой перенос справедлив, поскольку, перейдя к объектным логическим операциям, а затем обратно, можно выполнить следующие преобразования: . Тогда будем иметь

где и .

При большом числе букв в исходной клаузе прибегают к специальной нумерации производных клауз, чтобы не запутаться.

Пример 6.3.

Установить справедливость следующей клаузы:

.

Решение

Сначала приведем ее в соответствующую конструктивно-дизъюнктивную нормальную форму

.

Далее производим разбиение первой дизъюнкции , умножая ее на оставшуюся часть левого выражения ( и получим две производные клаузы:

1.

2. .

Клаузу (1) можно отбросить, так как она уже удовлетворяет клаузе Вонга (Х содержится и в левой, и в правой части клаузы). Вторую дизъюнкцию необходимо разбивать дальше. Для этого дизъюнкцию умножим на оставшуюся часть левого выражения и получим три клаузы:

2.1. ,

2.2. ,

2. 3. .

Произведем разбиение первой клаузы, то есть перемножим выражение на выражение в скобках , получим три клаузы

2.1.1. – клауза Вонга, так как ,

2.1.2. , после переноса вправо получим клаузу Вонга , в которой ,

2.1.3. , после разбиения дизъюнкта получим клаузы Вонга и , в которых и соответственно.

Рассмотрим теперь клаузу 2.2. Произведем ее разбиение аналогично клаузе 2.1 и получим

2.2.1. , где ,

2.2.2. , где ( после переноса вправо). Эти две клаузы удовлетворяют клаузе Вонга. Рассмотрим третью.

2.2.3. .

В этой клаузе нужно разбить конъюнкцию правой части, поскольку в левой части нет букв, соответствующих буквам этой конъюнкции. Сначала в клаузе 2.2.3 упростим ее левую часть, так как , то .

После разбиения получим

2.2.3.1. , 2.2.3.2. .

(Разбиение идет по следующей схеме. Так как в соответствии с причинно-следственным отношением (6.1), если в метаимпликации (2.2.3) посылка истинна, то истинно и следствие , которое представляет собой конъюнкцию. Следовательно, истинны оба члена конъюнкции и и , отсюда и результат разбиения, который приведен выше).

Клауза 2.2.3.1 уже соответствует клаузе Вонга, в ней , а клаузу 2.2.3.2 сначала немного преобразуем, перенеся из правой части в левую с отрицанием, и получим клаузу , имеющую вид клаузы Вонга, в которой .

Осталась еще одна ветвь (2.3) не доказанная нами на соответствие клаузе Вонга. Она отличается от рассмотренных наличием непарной переменной , которая тем не менее не может повлиять на конечный результат. Разбиение клаузы будет идти аналогично рассмотренной процедуре.

Произведем разбиение третьей клаузы (2.3), то есть перемножим выражение на выражение в скобках , получим три клаузы

2.3.1. – клауза Вонга, где .

2.3.2. , где после переноса вправо, то есть это тоже клауза Вонга.

2.3.3. .

Эту клаузу разбиваем аналогично клаузе 2.2.3.

2.3.3.1. , 2.3.3.2. .

Клауза 2.3.3.1 уже соответствует клаузе Вонга, в ней , а клаузу 2.3.3.2 сначала также преобразуем, перенеся из правой части в левую с отрицанием, и получим клаузу , имеющую вид клаузы Вонга, в которой .

Таким образом, нами доказана исходная клауза, то есть то, что она записана верно.