6.1.4. Принцип резолюций
Принцип резолюций – полуконструктивный метод доказательства логических выражений, порождающий конструктивную процедуру и основанный на «склеивании» двух посылочных дизъюнкций, содержащих противоположные переменные в один заключительный дизъюнкт, их не содержащий.
,
где
и
-
произвольные переменные или целые
дизъюнкции с любым наборов переменных,
включая ноль;
и
-
произвольные термы.
При последовательном применении принципа резолюций происходит уменьшение числа букв, вплоть до их полного исчезновения. При этом исходная клауза конструируется в форме конъюнктивного противоречия.
Докажем с помощью метода резолюций справедливость правила отделения:
или
.
Здесь имеются три дизъюнкции. Склеивая их последовательно, получаем в результате ноль, который говорит о несовместимости заключения и посылок. Это как раз и свидетельствует о справедливости исходной клаузы.
Принцип резолюций целиком заменяет аксиому порядка, поскольку сама эта аксиома может быть доказана в рамках метода резолюций. Действительно,
,
,
.
Необходимо отметить,
что посылка
здесь не используется. Это необходимо
иметь в виду: необязательно использовать
все посылки (их число часто бывает
избыточным) – главное получить ноль.
Пусть дана клауза
.
Доказательство ее справедливости следует начать с приведения ее в нормальную конъюктивную форму
.
Выпишем по порядку все посылки и далее начнем их склеивать согласно очередности до тех пор, пока не получим ноль. Справа от каждой новой дизъюнкции или переменных будем писать номера ранее используемых переменных, вошедших в состав уже написанных дизъюнкций.
-
1.
8.
(2, 4)
2.
9.
(2, 5)
3.
10.
(3, 6)
4.
11.
(3, 8)
5.
(1,3)
12.
(4, 5)
6.
(1,4)
13.
(4, 7)
7.
(2,3)
14.
0
(4, 9)
Подобная стратегия поиска нуля очень непродуктивна. Если же к этой задаче подойти более творчески, то ноль обнаружится на четвертом шаге от начала поиска:
5.
(1,4), 6.
(2,4), 7.
(3,6), 8. 0
(5,7).
В наших расчетах мы пока что использовали форму конъюктивного противоречия. Но исходя из принципа двойственности, метод резолюций можно сформулировать относительно дизъюнктивной тавтологии, при этом принцип резолюций изменится
.
Докажем одну и ту же клаузу двумя способами - в форме противоречия и форме тавтологии. Пусть имеется клауза
.
Доказательство в форме противоречия выглядит так:
.
1 2 3 4
Будем иметь следующие склейки:
5. (1,2), 6. (1,3), 7. 0 (5,6).
Доказательство в форме тавтологии выглядит аналогично
.
1 2 3 4
Склейки: 5. (1,2), 6. (1,3), 7. 0 (5,6).
Метод резолюций удобен для алгоритмизации. Это позволяет использовать его в логических языках программирования и, в частности, в ПРОЛОГе. Алгоритм склеек образует структуру древовидной формы, что хорошо видно на нижеприведенном примере (рис.6.1) для клаузы
