6.1.3. Конструктивный метод доказательства логических выражений
Конструктивный метод доказательства логических выражений основан на таблицах истинности и является противоположным аксиоматическому.
Для его понимания достаточно составить таблицу истинности для какого-нибудь примера. Пусть имеется следующая легенда:
«Кассир Сидорова сказала, что она видела водителя контейнеровоза Иванова в комнате отдыха. Эта комната, по ее словам, находится рядом с помещением склада готовой продукции. Стреляли в складе. Водитель заявил, что он никаких выстрелов не слышал. Вывод следователя: если кассир говорит правду, то водитель вводит следствие в заблуждение; не могут кассир и водитель одновременно говорить правду».
Введем обозначения для высказываний:
А = «Кассир сказала правду»,
В = «Водитель находится в комнате отдыха»,
С = «Комната отдыха находится вблизи склада»,
D = «Водитель слышал выстрелы»,
Е = «Водитель сказал правду».
Посылки следователя:
«Если кассир сказала правду, то водитель находился в комнате отдыха»
.
«Если водитель находился в комнате отдыха, то он должен был слышать все, что делается на складе»
.
«Если он имел возможность слышать, что делается на складе, то он слышал и выстрелы»
.
«Если верить водителю, то он не слышал выстрелов»
.
Заключение следователя:
«Водитель меня обманывает при условии, что кассир говорит правду»
«Кассир и водитель одновременно говорят правду»
.
Формальная запись легенды записывается как метаконъюнкция всех посылок
.
Для доказательства
истинности следствия
аксиоматическим методом необходимо
воспользоваться тождеством
и затем применить трижды закон транзитивности.
Заключение
ошибочно, так как
,
что означает
или
,
а это противоречит аксиоме порядка (6.4).
Составим теперь таблицу истинности (табл.6.1), в которой под Р понимается конъюнкция всех Рi.
Клауза считается истинной, если единицы следствия (С) накрывают все единицы обобщенной причины (Р), то есть единицы обобщенной причины образуют подмножество единиц следствия.
Это требование выполняется для следствия , так как
.
Для
оно не выполняется, так как
и
С помощью скорректированных данных таблицы 6.1 можно установить справедливость тавтологии, составленной из этих же посылок:
Таблица 6.1
Таблица истинности, иллюстрирующая конструктивный
Метод доказательства логических выражений
№ п/п |
А |
В |
С |
D |
E |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P |
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
11 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
12 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
13 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
14 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
17 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
18 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
19 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
20 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
21 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
22 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
23 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
24 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
25 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
26 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
27 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
28 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
29 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
30 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
31 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
и противоречия
,
а также любых других клауз, полученных из первоначальной путем эквивалентных преобразований, например:
.
Если заменить на , то во всех указанных случаях условие причинно-следственного отношения нарушится и клаузы обратятся в ложные метавысказывания.
Заключения и явно очевидны и никакому следователю в этом случае нет нужды прибегать к таблицам истинности. Но могут быть такие легенды, из которых было бы очень трудно или даже невозможно только путем правильных рассуждений выбрать истинное заключение.
«Водитель обманывает, он находился в комнате отдыха, а комната отдыха действительно расположена рядом со складом – все это так, но при условии, что кассир сказала правду или что водитель слышал выстрелы»
.
«Водитель обманывает, он слышал выстрелы, а комната отдыха действительно расположена рядом со складом – все это так, но при условии, что кассир сказала правду или что водитель находился в комнате отдыха»
.
Единичные наборы
для
и
также приведены в табл. 6.1 Для заключения
в строках 8 и 12 стоят нули, следовательно,
условие причинно-следственного отношения
не выполняется и поэтому
является ложным заключением. Для
заключения
все его единицы накрывают единицы
обобщенной посылки Р, следовательно,
является истинным заключением:
.
.
Истинность заключения тем очевиднее, чем большим числом его единиц накрываются единицы обобщенной причины. Отсюда можно составить объективный критерий для оценки логических способностей человека.
Вообще опытный
логик прежде всего должен построить
все совместимые ряды событий
.
В нашем случае таких рядов 6 (они
соответствуют 0, 8, 12, 14, 15, 16 строкам
табл.6.1). Их объединение даст предельный
случай условия выполнения
причинно-следственного отношения:
;
;
;
;
;
.
Полученные конъюнкции не что иное, как СДНФ, отвечающая нашей конкретной причине Р. Всевозможные покрытия шести конъюнкций дают множество истинных следствий.
Так, заключения
,
покрывают все шесть конъюнкций, следовательно, они истинные. Два других заключения
и
не покрывают все или отдельные конъюнкции, следовательно, они ложные следствия.
Существует большое многообразие возможных покрытий, то есть истинных следствий из заданных причин. Но опытный следователь должен уметь определять три вещи – минимальную нормальную форму (МНФ), минимальное и трансверальное покрытия.
Нахождением МНФ по известным СДНФ и СКНФ мы уже занимались ранее, в предыдущих разделах, по булевым функциям. Так, минимизируя с помощью равносильных преобразований нашу СДНФ, можно получить следующую МНФ (МДНФ):
Минимальное
покрытие
– это покрытие
с наименьшим числом переменных.
Нам оно известно – это заключение
.
В него входят два
решающих высказывания,
связанные с правдивостью кассира (А)
и правдивостью водителя (Е).
Все остальные утверждения (В,
С, Д) являются
второстепенными и могут выступать в
результирующем заключении совместно
с А
и Е.
Трансверальное покрытие – это минимальное покрытие, включающее все имеющиеся переменные и содержащее минимальное количество наборов этих переменных. Для нашего примера имеются четыре трансверальных покрытия.
.
Видно, что среди выписанных находится и заключение , которое мы уже рассматривали в импликативной форме. Но интерпретация через ДНФ может быть более предпочтительной. Возьмем для примера заключение, которое у нас будет пятым
.
Оно предполагает три исхода истинного значения при совместном действии всех пяти факторов:
Трансверальные покрытия дают наиболее полную картину возможных следствий из сформулированных посылок, следовательно, из них и надо выбирать истинные следствия.