6.1.2. Аксиоматический метод доказательства логических выражений

Как и в логике Буля, в логике высказываний существует аксиоматический способ доказательств логических выражений.

Аксиоматический метод доказательства логических выражений – метод, при котором из бесконечного числа истинных клауз вычленяется независимая система аксиом, с помощью которой устанавливается справедливость любых других клауз.

Уже упоминалось, что доказательство в логике высказываний строится на отношении порядка, которое является общим случаем для отношения эквивалентности. Поэтому закон симметричности

если , то

всегда можно представить в антисимметричной форме:

если , то ,

но наоборот нельзя, то есть нельзя записать - если , то .

Отсюда следует, что логика высказываний является расширением логики Буля. Поэтому все истинные тождества логики Буля автоматически становятся справедливыми клаузами логики высказываний.

Так, например, в алгебре Буля существует закон склеивания

.

С учетом сказанного его можно представить следующими справедливыми клаузами:

,

перемещая символ метаконъюнкции, получим

, , .

Таким образом, независимая система аксиом логики Буля, которая состоит из законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, автоматически становится системой аксиом и логики высказываний. А для выражения отношения порядка требуется лишь какое-то одно элементарное высказывание, к которому можно было бы сводить все остальные более сложные высказывания. Введем такое высказывание.

Например,

«Истину может изречь всякий».

Это высказывание можно отобразить клаузой:

.

Она означает, что «если А истинно, то источником этой истинности может быть что угодно, например В». Можно произвести эквивалентное преобразование этой клаузы, например

, (6.4)

тогда ее семантика (значение) тоже изменится, и станет такой: «если ранее было установлено, что А истинно, то истинность В не может проявится так, что А станет ложным» или «истинность одного высказывания (В) не может повлиять на истинность другого высказывания (А)». Путем эквивалентных преобразований, подобных тем, что мы использовали при получении из формулы (6.1) формулу (6.2), клаузу (6.4) всегда можно преобразовать к другим формам, например:

,

,

,

.

,

В скобках показана процедура преобразования.

Возьмем, однако, в качестве основной аксиомы логики высказываний, выражающей отношение порядка, клаузу (6.4).

Поясним на примере.

Пример 6.2.

Имеется клауза

. (6.5)

Доказать ее справедливость.

Решение. Преобразуем ее к другому виду: и упростим , получили сразу аксиому порядка вида (6.4).

Доказанная элементарная клауза (6.5) известна еще со времен Аристотеля и имеет очень важное значение в логике высказываний. У нее даже есть специальное латинское название – modus ponens – правило отделения. Если в процессе доказательства справедливости какой-либо сложной клаузы удалось свести ее к клаузе (6.5), то считается, что доказательство состоялось.

Закон антисимметричности (если , то ) фактически определяет правила действия по переносу объектных высказываний относительно символа метаимпликации « ». Два других закона отношения порядка сводятся к аксиоме порядка.

Закон рефлексивности ( ) путем использования закона о единице ( ) может быть записан так:

,

что является частным случаем аксиомы порядка (6.5).

Закон транзитивности (если и , ) также может быть представлен в другой форме

,

которую можно доказывать путем сведения ее к аксиоме порядка. Доказательство ведем следующим образом:

1) перенесем А влево за знак метаимпликации

;

2) воспользуемся правилом отделения, которое нами уже доказано, для первых двух посылок

;

3) затем еще раз воспользуемся этим же правилом, но для третьей посылки и вновь полученной, что приведет нас к аксиоме порядка в форме

.

Таким образом, закон транзитивности доказан.

Теперь убедимся в истинности тавтологии:

.

Доказательство:

1) проведем эквивалентное преобразование

;

2) воспользуемся правилом отделения

;

3) еще раз воспользуемся правилом отделения и придем к аксиоме порядка в форме предыдущего примера.

Докажем справедливость клаузы, которая построена на основе тождественного закона склеивания:

.

После эквивалентных преобразований

она сводится к закону рефлексивности, то есть к частному случаю аксиомы порядка, рассмотренному выше.

Исторически первой системой аксиом классической логики была система, предложенная Г.Фреге:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. , .

Первая из аксиом является нашей аксиомой порядка. Вторая «аксиома» доказана нами выше. Остальные «аксиомы» представляют собой тождества логики Буля, записанные в форме клауз.

Позднее Я. Лукасевич уменьшил число аксиом в системе Фреге до трех

1. ,

2. ,

4. .

Вместо третьей «аксиомы» в современной логике часто используют «аксиому» вида

,

вытекающую из тождественного закона склеивания. Однако в процессе доказательств истинности клауз без аксиом булевой логики обойтись невозможно. Поэтому есть смысл говорить о пяти основополагающих законах логики высказываний:

отношения порядка;

коммутативности;

ассоциативности;

дистрибутивности;

нуля и единицы.

Необходимо отметить, что метадизъюнкция «;» не может разделять две различные посылки, а метаконъюнкция «,» - два различных заключения; это приводит к невозможности использовать аппарат логики высказываний.