5.3. Контрольные вопросы

1. В чем заключается суть метода решения логических задач с помощью алгебры логики?

2. Состоялся футбольный турнир между четырьмя командами «Спартак», «Зенит», «Динамо», «Торпедо». Было высказано три прогноза: «Победит «Спартак» или «Зенит»; «Не победит «Спартак»; «Не победит ни «Зенит», ни «Торпедо». Известно, что подтвердился только один прогноз. Какая команда выиграла турнир?

3. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал математическую логику?» получен верный ответ — «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий».

Кто изучал математическую логику?

Учебно-методическое обеспечение

1. Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998.

2. Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. – М.: ACADEMA, 2004.

3. Шапорев, С. Д. Математическая логика: курс лекций и практических занятий / С. Д. Шапорев – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.

Лабораторная работа № 6 построение доказательств в логике высказываний

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение теоретических основ и приобретение практических навыков по построению доказательств в логике высказываний.

6.1. Теоретическая часть

6.1.1. Основные понятия и определения, используемые при построении доказательств в логике высказываний

Наиболее коротко о логике можно сказать, что логика – это наука о способах доказательства. Выше были рассмотрены логика высказываний и логика Буля. Здесь сначала подчеркнем различие в построении доказательств в этих логиках.

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, то есть на отношении, которое существует между причиной и следствием. Отдельные звенья цепи доказательств в ней связаны символом импликации « ».

В булевой логике все доказательства строились на отношении эквивалентности. Две логические функции считались эквивалентными, если они принимали одинаковые значения на одинаковых наборах независимых переменных. При использовании формальной записи логических выражений отдельные звенья цепи любого доказательства связывались символом тождественного равенства « » или простого равенства «=». Отношение эквивалентности удовлетворяет законам рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Для построения доказательств в алгебре высказываний проведем замену ранее использовавшихся символов логических операций.

Символ импликации « » при логическом выводе будем заменять символом « ». Вместо символа конъюнкции « », который называется объектным, будем использовать субъектный символ метаконъюнкции «,» – запятую, вместо объектной дизъюнкции « » - субъектную метадизъюнкцию «;» – точку с запятой, а вместо символа эквиваленции « » символ эквиваленции – «~».

Тогда утверждение, которое требуется доказать, в логике высказываний оформится в виде следующего причинно-следственного отношения:

, (6.1)

где - посылка (причина), С – заключение (следствие).

Читается: «Если посылки истинны, то заключение С тоже истинно» или, по другому: «Если причины имели место, то будет иметь место и следствие С».

Чтобы не спутать объектное высказывание (предложение) с субъектным высказыванием, справедливость которого мы будем доказывать, то предложения вышеприведенного типа будем называть клаузой, от латинского (clause).

Клауза – это записанное с помощью букв и символов операций метапредложение, в котором использовано отношение порядка, оформленное через символ метаимпликации « ».

Как и отношение эквивалентности, отношение порядка удовлетворяет трем законам:

рефлексивности – ;

антисимметричности – если , то ;

транзитивности – если и , .

Отношение порядка отличается от отношения эквивалентности и предполагает выполнение закона антисимметричности, который можно записать:

если и , то .

Клауза является формальной записью доказываемого предложения. Вместо букв, как и в алгебре логики, можно подставить объектные высказывания, и тогда клауза наполняется конкретным семантическим содержанием, которое называется легендой.

Легенда – это клауза, в которой вместо букв и символов операций используются объектные высказывания.

Пример 6.1

Имеется клауза , где буквами обозначены следующие высказывания: А – сверкнула молния, В – грянул гром. Необходимо составить легенду.

Решение. «Известно, что если сверкнула молния, то после этого грянет гром. Молния сверкнула. Следовательно, должен и грянуть гром».

Над субъектом, который формулирует метапредложения, может стоять другой субъект, для которого уже предложения первого субъекта окажутся объективными. Тогда клаузу (6.1) второй субъект (метасубъект) запишет для себя следующим логическим выражением, в котором субъектный символ заменен на объектный символ импликации :

.

Это выражение с помощью равносильности второй группы ( ) переводим в дизъюнктивную форму

,

в которой группируем члены дизъюнкции в виде и переводим полученное выражение снова в импликацию, в которой посылкой будет первая дизъюнкция в скобках, содержащая переменные с отрицаниями, а следствием дизъюнкция во второй скобке, получим

.

На основе полученного выражения клауза (6.1) может быть представлена в другой эквивалентной форме:

. (6.2)

В соответствии с законом коммутативности на месте посылки в исходном выражении (6.1), может оказаться любая другая или несколько. Тогда, например, клауза

может быть преобразована в другую эквивалентную форму:

. (6.3)

Клауза (6.1), по сравнению с формами (6.2), (6.3), имеет некоторые преимущества и, в частности, используется в языке логического программирования ПРОЛОГ. Ее называют хорновской. Произвольную клаузу всегда можно свести путем эквивалентных преобразований к хорновскому виду.

Если символ метаимпликации « » клаузы (6.2) сместить в крайнее левое положение, взяв в качестве посылки единицу, то она превратится в тавтологию, а если его сместить в крайнее правое положение, взяв в качестве следствия ноль, то – в противоречие:

– тавтология,

– противоречие.

Порядок преобразования клаузы (6.2) в тавтологию осуществляется следующим образом:

Приведение клаузы (6.2) к противоречию осуществляется аналогично приведенным выше преобразованиям, то есть путем добавления с помощью дизъюнкции нуля, но только не в левую, а в правую часть клаузы (6.2), которая от этого не меняет своего значения.

В полученной тавтологии используется только субъектная метадизъюнкция, а в противоречии – только субъектная метаконъюнкция. В левой части формул вида (6.2) всегда применяется только субъектная метаконъюнкция, а в правой – только субъектная метадизъюнкция.

Далее мы рассмотрим пять методов доказательств справедливости логических клауз: аксиоматический метод, метод таблиц истинности, метод резолюций, метод Вонга и метод натурального исчисления.