Сднф и скнф операции конъюнкции

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

г) объединяем путем суммирования функций в одну – СДНФ:

Равносильность доказана.

3.3. Контрольные вопросы

1. Дать определение функции алгебры логики (булевой функции). Функция одной и двух переменных. Как определить количество функций переменных?

2. Привести пары булевых функций двух переменных.

3. Перечислить свойства совершенства формулы алгебры логики.

4. Какие логические операции и формулы являются двойственными? Привести выражение для определения двойственной формулы.

5. Что является элементарной конъюнкцией? Дать определение ДНФ и СДНФ.

6. Правило получения СДНФ из формулы А по таблице истинности и с помощью равносильных преобразований.

7. Что является элементарной дизъюнкцией? Дать определение КНФ и СКНФ.

8. Правило получения СКНФ из формулы А по таблице истинности и с помощью равносильных преобразований.

9. На какие классы разрешимости подразделяются формулы алгебры логики? Дать соответствующие определения.

10. Охарактеризуйте критерии тождественной истинности и тождественной ложности формулы.

11. Используя критерии тождественной истинности и тождественной ложности формулы, определить класс формулы .

12. Какая булева функция называется сохраняющей 0 и сохраняющей 1? Привести функции одной и двух переменных сохраняющие 0 и сохраняющие 1.

13. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только в том случае, когда ровно две переменные ложны.

14. Показать, что формула является самодвойственной.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998

2. Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. – М.: ACADEMA, 2004.

3. Шапорев, С. Д. Математическая логика: курс лекций и практических занятий / С. Д. Шапорев – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.

Лабораторная работа № 4

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ К

РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫМ СХЕМАМ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение технических приложений алгебры логики при составлении релейно-контактных (переключательных схем).

4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Функции алгебры логики широко применяются при описании работы дискретных управляющих систем (контактных схем, схем из функциональных элементов, логических сетей и т.д.), при исследовании некоторых электрических цепей, так называемых релейно-контактных схем.

4.1.1. Основные понятия релейно-контакных схем

Релейно-контактная схема (ркс) – физическое устройство из проводников и двухпозиционных контактов, предназначенное для соединения или разъединения электрической цепи. Оно может быть использовано, например, для соединения или разъединения полюсов источника тока с некоторым потребителем.

Эти устройства (их еще называют переключательными схемами) содержат сотни реле, электронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости довольно затруднительно.

Использование алгебры логики (булевых функций) в конструировании РКС оказалось возможным, поскольку каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы.

Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы. Кроме того, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.

Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики (булевыми функциями) и переключательными схемами.

Переключательная схема – это схематическое изображение устройства, состоящего из переключателей, соединяющих их проводников, входов и выходов из устройства.

Переключатели – устройства, осуществляющие замыкание и размыкание электрической цепи (выключатели, переключающие ключи, кнопки и т.д.), электромагнитные реле, электровакуумные (электронные) лампы, полупроводниковые приборы (ключи) и т.п.

Проводники, соединяющие переключатели, – металлические провода в шлейфах и жгутах, плоские проводники на поверхности печатных плат, пленочные на подложках и поверхностях полупроводниковых пластин интегральных схем, проводящий слой в объеме полупроводника в интегральных схемах и т.п.

Входы и выходы из устройства (схемы) – клеммы или контакты, на которые подается электрическое напряжение, называемые полюсами схемы.

Резисторы, конденсаторы, индуктивности, транзисторы и т.д. на схемах не изображаются.

Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют нормально замкнутым и нормально разомкнутым.

Нормально замкнутое состояние (нормально замкнутые контакты) – это состояние переключателя, в котором при отсутствии протекающего через него тока все контакты находятся в замкнутом состоянии, а при прохождении электрического тока размыкаются.

Нормально разомкнутое состояние (нормально разомкнутые контакты) – это состояние переключателя, в котором при отсутствии протекающего через него тока все контакты находятся в разомкнутом состоянии, а при прохождении через него электрического тока замыкаются.

Простейшая переключательная схема (рис.4.1а), содержит один переключатель р, один вход А и один выход В. Каждому переключателю можно поставить в соответствие свою булеву переменную или , …, или , которая принимает значение 1, когда переключатель срабатывает (замкнут), и значение 0 при его отключении (переключатель разомкнут).

Поскольку переключатель мы обозначили буквой Р (рис.4.1б), то такой же, но малой буквой можно обозначить высказывание , гласящее: «Переключатель Р замкнут» и высказывание , гласящее: «Переключатель Р не замкнут». Если истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В без потери напряжения. В этом случае схема (рис.4.1а) проводит ток. Если высказывание ложно, то переключатель разомкнут и схема тока не проводит, то есть на полюсе В нет напряжения.

Поскольку в формулах алгебры логики для обозначения переменных в основном используются малые буквы латинского алфавита, то в дальнейшем именно их и будем использовать для обозначения состояния переключателя в переключательных схемах (рис. 4.1 в).

Если исходить не из смысла высказывания, а из его значения, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема (см. рис.4.1).

Всей релейно-контактной схеме тогда ставится в соответствие булева переменная , зависящая от булевых переменных , сопоставленным тем переключателям, которые участвуют в схеме. Если при данном наборе состояний переключателей вся РКС проводит электрический ток, то переменной ставится в соответствие значение 1. Если же при этом наборе состояний переключателей схема не проводит электрический ток, то считаем, что переменная принимает значение 0.

Так как каждый набор состояний переключателей характеризуется набором, составленным из нулей и единиц, имеющим длину , то данная переключательная схема определяет правило, по которому каждому такому набору, составленному из нулей и единиц сопоставляется либо 0, либо 1.

Таким образом, каждая релейно-контактная схема, в которой занято независимых простейших переключательных схем (см. рис.4.1) определяет некоторую булеву функцию от аргументов. Она принимает значение 1 на тех и только на тех наборах значений аргументов , которые соответствуют тем состояниям переключателей , при которых данная схема проводит электрический ток. Такая булева функция называется функцией проводимости данной переключательной схемы. Отсюда следует, что теория булевых функций (или еще ее называют алгебра логики) позволяет построить математические модели реальных физических РКС.