3.2. Задания к выполнению работы
1.
По таблице истинности (табл. 3.5) найдите
формулы
СДНФ
А
и СКНФ А,
определяющие функции
,
,
,
,
и придайте им более простой вид.
Таблица 3.5
Таблица истинности для нахождения формул СДНФ А и СКНФ А
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2. Для каждой булевой функции от двух переменных найдите двойственную ей булеву функцию.
3. Булева функция называется:
а) сохраняющей 0,
если
;
б) сохраняющей 1,
если
.
Среди булевых функций от одной и от двух переменных найти все функции, сохраняющие 1, и все функции, сохраняющие 0 (функции см. п. 3.1.1).
4. Для следующих формул найти СДНФ А и СКНФ А, каждую двумя способами (путем равносильных преобразований и используя таблицы истинности):
5.Докажите
равносильность формул
и
сравнением их совершенных нормальных
форм (конъюнктивных или дизъюнктивных).
6. Найдите более простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы:
7. Используя только критерий тождественной истинности и тождественной ложности формулы, установить, будет ли данная формула тождественно истинной, тождественно ложной или выполнимой:
8.
Пусть
– функция алгебры логики (булева
функция), которая принимает значение 1
тогда и только тогда, когда точно две
переменные принимают значение 1. Выразите
эту функцию через основные логические
операции.
9. Найдите СДНФ А для любой тождественно истинной формулы, содержащей: 1) одну переменную, 2) две переменные, 3) три переменные.
10. Найдите СКНФ А для любой тождественно ложной формулы, содержащей: 1) одну переменную, 2) две переменные, 3) три переменные.
11.
Построить формулу
от переменных
так, чтобы
.
12. Доказать равносильности второй группы.
1. .
2. .
3
законы
де Моргана
4 .
Решение примера 2.
Для решения примера необходимо составить таблицу истинности, получить по ней совершенные формы СДНФ F и СКНФ F, затем преобразовать СДНФ F в СКНФ F или СКНФ F в СДНФ F и объединить в одну из форм СДНФ F или СКНФ F, а после упрощения совершенных форм получить требуемое выражение:
а) составляем таблицу истинности (табл. 3.6);
б) по таблице истинности составляем СДНФ F и СКНФ F:
СДНФ
,
СКНФ
;
в) преобразуем СКНФ F в СДНФ F (или наоборот СДНФ F в СКНФ F)
СДНФ F
=
.
Таблица 3.6
Таблица истинности для нахождения формул