3.1.6. Проблема разрешимости
Все формулы алгебры логики делятся на три класса:
тождественно истинные;
тождественно ложные;
выполнимые.
Определения тождественно истинной и тождественно ложной формул были даны ранее.
Выполнимой формулой А называется формула, которая принимает значение «истина» хотя бы на одном наборе значений входящих в нее переменных и при этом не является тождественно истинной.
В связи с этим возникает задача: к какому классу относится данная формула? Эта задача носит название проблемы разрешимости.
Данная проблема
в действительности разрешима, поскольку
для каждой формулы алгебры логики может
быть записана таблица истинности,
которая и даст ответ на поставленный
вопрос. Трудность состоит в том, что
практическое использование таблицы
истинности для формулы
при больших
проблематично.
Поэтому существует другой способ, позволяющий, не используя таблицы истинности, определить, к какому классу относится формула А. Этот способ основан на приведении формулы к нормальной форме (КНФ или ДНФ) и использовании алгоритма, который позволяет определить, является ли данная формула тождественно истинной или не является. При этом решается вопрос о том, будет ли формула А выполнимой.
Теорема. Для того, чтобы формула алгебры логики А была тождественно истинна (ложна), необходимо и достаточно, чтобы каждая дизъюнкция (конъюнкция), входящая в КНФ А (ДНФ А), содержала переменную и ее отрицание.
Пример 3.3
Установить класс
формулы
.
Решение
Приводим формулу к какой-либо нормальной форме:
Полученная ДНФ А не является тождественно ложной, так как не каждая элементарная конъюнкция содержит переменную и ее отрицание. Следовательно, исходная формула тождественно истинна или выполнима. Для дальнейшего решения преобразуем ее к КНФ.
Полученная КНФ А не является тождественно истинной, поскольку не каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную и ее отрицание.
Таким образом, исходная формула не является ни тождественно ложной, ни тождественно истинной, следовательно, она выполнима.
Проверим это с помощью таблицы истинности
Таблица 3.5
Таблица истинности
формулы
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В соответствии с определением формула является выполнимой, если она принимает значение 1 хотя бы на одном наборе значений входящих в нее переменных и при этом не является тождественно истинной. По таблице истинности (табл. 3.5) видно, что формула отвечает именно такому определению и, следовательно, является выполнимой.