3.1.5. Конъюнктивная нормальная форма (кнф) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)

Элементарной дизъюнкцией переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Элементарная конъюнкция переменных может быть записана в виде:

или , или , или

и т. д.

Конъюнктивной нормальной формой формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию дизъюнкций.

Конъюнкция элементарных дизъюнкций переменных формулы А может быть записана в виде:

Совершенной конъюнктивной нормальной формой формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Как и для ДНФ А, среди большого числа КНФ А существует единственная КНФ А, для которой выполняются перечисленные ранее четыре свойства совершенства, свойства (С). На этом основании можно дать следующее определение такой КНФ.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы А (СКНФ А) – это конъюнктивная нормальная форма, для которой выполняются свойства совершенства (С) и которая существует в единственном числе.

Правило получения СКНФ А с помощью таблицы истинности.

Если функция задана таблицей истинности, то соответствующая ей СКНФ А может быть получена уже двумя способами.

1) СКНФ А получается так же, как и СДНФ А, но с использованием формулы . Для этого необходимо сначала получить с помощью таблицы , затем взять отрицание и использовать закон де Моргана для его снятия: .

2) При получении СКНФ А для каждого набора значений переменных, на котором функция принимает значение, равное 0, запишем дизъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции , если значение на указанном наборе значений переменных есть 0 и отрицание , если значение есть 1. Конъюнкция всех записанных дизъюнкций и будет искомой формулой.

Правило получения СКНФ А с помощью равносильных преобразований.

1. Для формулы А получаем любую КНФ А.

2. Из КНФ А путем равносильных преобразований получаем СКНФ А, последовательно добиваясь выполнения четырех свойств СКНФ – свойств совершенства, которые аналогичны свойствам совершенства СДНФ.

1) Пусть В есть сомножитель (дизъюнкция) КНФ А вида , не содержащий (в данном случае ). Для введения ее в сомножитель (дизъюнкцию) используем равносильность . Для этого складываем ее с В и получим дизъюнкцию . Далее применяем закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции , что позволит заменить исходную дизъюнкцию В на две, которые уже будут содержать недостающую переменную

.

2) Если в КНФ А входят две одинаковых элементарных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью .

3) Если некоторая элементарная дизъюнкция В, входящая в КНФ А, содержит переменную и ее отрицание , то ее можно исключить из КНФ А , как единичный член конъюнкции ввиду равносильности .

4) Если некоторая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, содержит переменную дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь равносильностью .

После выполнения указанных процедур будет получена СКНФ А.

Пример 3.2

Из формулы А получить СКНФ А с помощью таблицы истинности и с помощью равносильных преобразований.

Для иллюстрации получения СКНФ А используем формулу из предыдущего примера 3.1.

Решение

1. Получение СДНФ А с помощью таблицы истинности.

Поскольку формула осталась та же, то останется такой же и таблица истинности этой формулы (табл. 3.3).

1-й способ. Получение СКНФ А с использованием формулы .

Для этого необходимо сначала получить с помощью таблицы .

Затем следует взять отрицание и использовать закон де Моргана для его снятия:

Таким образом, получена :

2-й способ. Получение СКНФ А сразу по таблице истинности.

В этом случае для каждого набора значений переменных, на котором функция принимает значение, равное 0, запишем дизъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции , если значение на указанном наборе значений переменных есть 0, и отрицание , если значение есть 1. Конъюнкция всех записанных дизъюнкций и будет искомой формулой. Сразу получим искомую формулу

2. Получение СДНФ А с помощью равносильных преобразований.

1) В соответствии с правилом получения СКНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований для формулы А получаем любую КНФ А.

КНФ А = .

Далее для получения СКНФ А применяем закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции .

В полученной КНФ А, в дизъюнкции, заключенной в скобках, не хватает всего одной переменной , поэтому добавим к ней произведение равное нулю и получим выражение . Применяя закон дистрибутивности к этому выражению, в качестве переменной данного закона можно взять исходную дизъюнкцию , в качестве взять , а в качестве – . Тогда будем иметь два сомножителя, которые войдут в СКНФ А:

.

Осталась еще одна переменная за скобками. Для превращения ее в элементарные дизъюнкции (сомножители СКНФ А) добавим к ней сначала произведение недостающей переменной , применим к полученному выражению закон дистрибутивности, затем к полученным выражениям добавим произведение недостающей переменной и снова применим закон дистрибутивности

Объединяя полученные сомножители с полученными ранее, располагая для удобства анализа переменные в порядке возрастания и приводя подобные члены, получим СКНФ А:

Как видно, полученная с помощью равносильных преобразований СКНФ А, такая же, как и СКНФ А, полученная по таблице истинности.