3.1.4. Дизъюнктивная нормальная форма (днф) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф)

Элементарной конъюнкцией переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Элементарная конъюнкция переменных может быть записана в виде:

или , или , или

и т. д.

Дизъюнктивной нормальной формой формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию конъюнкций.

Дизъюнкция элементарных конъюнкций переменных формулы А может быть записана в виде:

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Среди большого числа ДНФ А, как уже говорилось, существует единственная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства, свойства (С). На этом основании можно дать следующее определение такой ДНФ.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы А (СДНФ А) – это дизъюнктивная нормальная форма, для которой выполняются свойства совершенства (С) и которая существует в единственном числе.

СДНФ А можно получить двумя способами:

а) с помощью таблицы истинности (см. выше);

б) с помощью равносильных преобразований.

Правило получения СДНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований.

1. Для формулы А получаем любую ДНФ А.

2. Из ДНФ А путем равносильных преобразований получаем СДНФ А, последовательно добиваясь выполнения четырех свойств СДНФ – свойств совершенства.

1) Пусть В есть слагаемое ДНФ А, не содержащее . Путем умножения В на равносильность заменяем его на два слагаемых, которые уже будут содержать переменную .

.

2) Если в ДНФ А входят два одинаковых слагаемых В, то лишнее можно отбросить, пользуясь равносильностью .

3) Если в некоторое слагаемое В в ДНФ А переменная входит дважды, то лишнюю переменную необходимо отбросить, учитывая равносильность .

4) Если в ДНФ А входит слагаемое В, содержащее конъюнкцию , то это слагаемое можно отбросить, так как и тогда . Учитывая уже равносильность , где остальные слагаемые формулы А, слагаемое В можно отбросить.

Пример 3.1

Из формулы получить СДНФ А с помощью таблицы истинности и с помощью равносильных преобразований.

Решение

1. Получение СДНФ А с помощью таблицы истинности.

Поскольку формула А содержит три переменные, то таблица истинности должна содержать строк. Составляем таблицу истинности

Таблица 3.3

Таблица истинности формулы

0	0	0	1	1	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0

На тех наборах переменных, где формула принимает значение, равное 1, в качестве слагаемого запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции , если значение на указанном наборе переменных есть 1, и отрицание , если значение есть 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой. В нашем случае будем иметь

СДНФ А = .

Данная формула полностью отвечает свойствам совершенства.

2. Получение СДНФ А с помощью равносильных преобразований.

1) В соответствии с правилом получения СДНФ из формулы А с помощью равносильных преобразований для формулы А получаем любую ДНФ А.

.

2) Формула ДНФ А имеет два слагаемых, в каждом из которых недостает по одной переменной для того, чтобы она стала совершенной формой. Поэтому умножаем первое слагаемое на равносильность , чтобы получить недостающую переменную в двух новых слагаемых, а второе слагаемое на равносильность . Получим выражение

Приводим подобные члены (в выражении они подчеркнуты) и, пользуясь равносильностью, отбрасываем лишнее слагаемое. Переставляя переменные в слагаемых по порядку возрастания, получим то же самое выражение, которое было получено с помощью таблицы истинности

СДНФ А = .

В тех случаях, когда в слагаемых полученной ДНФ А отсутствует одна или две переменные и когда переменных не больше четырех, для получения СДНФ А проще использовать равносильные преобразования, в противоположном случае - таблицу истинности.