
- •Н. Г. Моисеев математическая логика и теория алгоритмов
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Техника безопасности при выполнении лабораторных работ
- •1. Общие требования безопасности
- •2. Требования безопасности перед началом работы
- •3. Требования безопасности во время работы
- •4. Требования безопасности в аварийной обстановке
- •5. Требования безопасности по окончании работы
- •6. Ответственность
- •Лабораторная работа № 1 алгебра высказываний и логические операции над ними
- •1.1. Теоретическая часть
- •1.1.1. Высказывания и операции над ними. Понятие высказывания
- •1.1.2. Логические операции над высказываниями
- •1.2. Задания к выполнению работы
- •1.3. Контрольные вопросы
- •2.1.1. Формулы алгебры высказываний
- •2.1.1. Равносильные формулы алгебры высказываний
- •I. Основные равносильности:
- •II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:
- •III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:
- •2.2. Задания к выполнению работы
- •2.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 3 функции алгебры логики. Совершенные нормальные формы
- •3.1. Теоретическая часть
- •3.1.1. Функции алгебры логики
- •3.1.2. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
- •3.1.3. Закон двойственности
- •3.1.4. Дизъюнктивная нормальная форма (днф) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф)
- •3.1.5. Конъюнктивная нормальная форма (кнф) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)
- •3.1.6. Проблема разрешимости
- •3.2. Задания к выполнению работы
- •Сднф и скнф операции конъюнкции
- •3.3. Контрольные вопросы
- •4.1.1. Основные понятия релейно-контакных схем
- •4.1.2. Реализация с помощью релейно-контакных схем основных логических операций
- •4.2. Задания к выполнению работы
- •4.3. Контрольные вопросы
- •5.2. Задания к выполнению работы
- •5.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 6 построение доказательств в логике высказываний
- •6.1. Теоретическая часть
- •6.1.1. Основные понятия и определения, используемые при построении доказательств в логике высказываний
- •6.1.2. Аксиоматический метод доказательства логических выражений
- •6.1.3. Конструктивный метод доказательства логических выражений
- •Метод доказательства логических выражений
- •6.1.4. Принцип резолюций
- •6.1.5. Метод Вонга
- •6.1.6. Метод натурального исчисления
- •6.2. Задания к выполнению работы
- •6.3. Контрольные вопросы
- •7.1.1. Составление легенд на основе клауз
- •7.1.2. Составление клауз на основе легенд
- •7.2. Задания к выполнению работы
- •7.3. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Формулы исчисления высказываний
- •8.1.2. Определение доказуемой формулы
- •1. Система аксиом исчисления высказываний
- •2. Правила вывода
- •1. Правило подстановки
- •2. Правило заключения.
- •3. Определение доказуемой формулы
- •8.1.3. Производные правила вывода
- •8.1.4. Понятие выводимости формулы из совокупности формул
- •8.1.5. Понятие вывода
- •8.1.6. Правила выводимости
- •13. Правило исключения третьего в доказуемых формулах
- •8.1.7. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний
- •Теоремы, устанавливающие связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний
- •8.2. Задания к выполнению работы
- •8.3. Контрольные вопросы
- •9.1.1. Логические операции над предикатами
- •9.1.2. Кванторные операции
- •9.1.3. Понятие формулы логики предикатов
- •9.1.4. Значение формулы логики предикатов
- •9.1.5. Равносильные формулы логики предикатов
- •9.1.6. Предваренная нормальная форма
- •9.1.7. Общезначимость и выполнимость формул
- •9.2. Задания к выполнению работы
- •9.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Лабораторная работа № 10 алгоритмы и их применение
- •10.1. Теоретическая часть
- •10.1.1. Характерные черты алгоритма и основные требования к алгоритмическим процедурам
- •10.1.2. Классификация алгоритмических моделей
- •10.1.3. Машины Тьюринга
- •Тьюрингова функциональная схема
- •Программа (схема) работы машины Тьюринга,
- •10.2. Задания к выполнению работы
- •10.3. Контрольные вопросы
- •Учебно-методическое обеспечение
- •Заключение
- •424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3
- •424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17
3.1.2. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
Пусть
– произвольная
функция алгебры логики
переменных.
Рассмотрим формулу
которая составлена
следующим образом: каждое слагаемое
этой логической суммы представляет
собой конъюнкцию, в которой первый член
является значением функции F
при некоторых определенных значениях
переменных
,
остальные
же члены конъюнкции представляют собой
переменные или их отрицания. При этом
под знаком отрицания находятся те, и
только те переменные, которые в первом
члене конъюнкции имеют значение 0.
Рассмотренная формула содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида и полностью определяет функцию . Таким образом, значения функции F и всей формулы в целом совпадают на всех наборах значений переменных .
Из общей формулы
видно, что она может быть значительно
упрощена, если в ней отбросить те
логические слагаемые, в которых первый
член конъюнкции имеет значение 0 (а
следовательно, вся конъюнкция имеет
значение 0). Если же в логическом слагаемом
первый член конъюнкции имеет значение
1, то, пользуясь равносильностью
,
этот член конъюнкции можно не выписывать.
Таким образом, в результате получается формула, которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:
каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию ;
все логические слагаемые формулы различны;
ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание;
ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Перечисленные свойства называются свойствами совершенства или, коротко, свойствами (С).
Из приведенных рассуждений получается, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единственная формула указанного вида.
Если функция
задана
таблицей истинности, то соответствующая
ей формула алгебры логики может быть
получена просто. Действительно, для
каждого набора значений переменных, на
котором функция
принимает
значение, равное 1, запишем конъюнкцию
элементарных переменных высказываний,
взяв за член конъюнкции
,
если значение
на указанном наборе значений переменных
есть 1 и отрицание
,
если значение
есть 0. Дизъюнкция всех записанных
конъюнкций и будет искомой формулой.
3.1.3. Закон двойственности
Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции.
Формулы А и А* называются двойственными, если формула А* получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.
Например, для
формулы
двойственной формулой будет формула
.
Если формулы А
и В
равносильны, то равносильны и им
двойственные формулы, то есть
.
Если для формулы
двойственной
формулой является
,
то справедлива
равносильность
.
Если взять отрицание от левой и правой части данного равенства, то получится выражение
.
Применяя данное выражение для определения двойственной к выражению формулы, получим
.
Формула полностью совпала с ранее полученным в соответствии с определением двойственных формул выражением.
Самодвойственная формула – формула равносильная своей двойственной формуле. Такая формула отвечает условию
.
Самодвойственная
функция принимает на противоположных
наборах
и
противоположные значения.