3.1.2. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Пусть – произвольная функция алгебры логики переменных.

Рассмотрим формулу

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции F при некоторых определенных значениях переменных , остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те, и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0.

Рассмотренная формула содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида и полностью определяет функцию . Таким образом, значения функции F и всей формулы в целом совпадают на всех наборах значений переменных .

Из общей формулы видно, что она может быть значительно упрощена, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (а следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью , этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула, которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:

1. каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию ;

2. все логические слагаемые формулы различны;

3. ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4. ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

Перечисленные свойства называются свойствами совершенства или, коротко, свойствами (С).

Из приведенных рассуждений получается, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единственная формула указанного вида.

Если функция задана таблицей истинности, то соответствующая ей формула алгебры логики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором функция принимает значение, равное 1, запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции , если значение на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание , если значение есть 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой.

3.1.3. Закон двойственности

Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции.

Формулы А и А^* называются двойственными, если формула А^* получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

Например, для формулы двойственной формулой будет формула .

Если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть .

Если для формулы двойственной формулой является , то справедлива равносильность

.

Если взять отрицание от левой и правой части данного равенства, то получится выражение

.

Применяя данное выражение для определения двойственной к выражению формулы, получим

.

Формула полностью совпала с ранее полученным в соответствии с определением двойственных формул выражением.

Самодвойственная формула – формула равносильная своей двойственной формуле. Такая формула отвечает условию

.

Самодвойственная функция принимает на противоположных наборах и противоположные значения.