Учебно-методическое обеспечение
1. Лихтарников, Л. М. Математическая логика: курс лекций / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998
2. Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. – М.: ACADEMA, 2004.
3. Шапорев, С. Д. Математическая логика: курс лекций и практических занятий / С. Д. Шапорев – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.
Лабораторная работа № 3 функции алгебры логики. Совершенные нормальные формы
ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение функций алгебры логики и способов получения совершенных нормальных форм.
3.1. Теоретическая часть
Значение формул алгебры логики полностью зависит от значений входящих в эту формулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных высказываний.
Например, формула
является функцией трех переменных
.
Особенностью этой функции является то
обстоятельство, что ее аргументы
принимают одно из двух значений: ноль
или единицу, и при этом функция также
принимает одно из двух значений: ноль
или единицу.
3.1.1. Функции алгебры логики
Функция алгебры
логики
переменных
(или
функция
Буля) –
функция
переменных
,
где каждая переменная принимает два
значения: 0
и 1,
и при этом функция может принимать
только одно из двух значений:
0 или 1.
Любая формула алгебры логики является и функцией алгебры логики. Очевидно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.
Определим, каково
количество функций
переменных. Каждую функцию алгебры
логики, как и формулу алгебры логики,
можно задать с помощью таблицы истинности,
которая будет содержать
строк. Следовательно, каждая функция
переменных принимает
значений, состоящих из нулей и единиц.
Таким образом, функция
переменных полностью определяется
набором значений из нулей и единиц длины
.
Общее количество
наборов, состоящих из нулей и единиц
длины
,
равно
.
Значит, общее количество различных
функций алгебры логики
переменных равно
.
В соответствии с
данной формулой различных функций
одной переменной будет
,
а различных функций двух переменных –
,
.
Выпишем все функции алгебры логики
одной и двух переменных.
Булевы функции от одной переменной.
Булевой функцией от одной переменной называется функция f, заданная на множестве из двух элементов и принимающая значения в том же двухэлементном множестве.
Элементы
двухэлементного множества будем
обозначать 0 и 1. Тогда
.
Составим таблицу истинности для различных функций одной переменной. Она будет иметь вид табл.3.1.
Таблица 3.1
Таблица истинности всех функций одной переменной
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Из данных таблицы
следует, что две функции одной переменной
будут постоянными:
и
,
а две переменными:
и
.
Таким образом, всего будет иметься четыре различные булевы функции одного аргумента:
– функция, тождественно равная 0 (тождественный нуль);
– тождественная функция;
– функция, называемая отрицанием;
– функция, тождественно равная 1(тождественная единица).
Булевы функции
от двух переменных.
Булевой
функцией от двух переменных называется
функция f,
заданная на множестве
и принимающая значения в двухэлементном
множестве
.
Составим таблицу
истинности для всевозможных функций
от двух переменных аналогично порядку
составления таблицы истинности от одной
переменной (табл. 3.1). При этом в первой
строчке приведем сокращенные обозначения
всех рассмотренных нами ранее операций,
во второй – сокращенные обозначения
функций, то есть
.
Многие из функций в табл. 3.2 имеют названия и специальные обозначения. Приведем их, сгруппировав функции в пары по тому принципу, что каждая функция из пары является отрицанием другой функции этой пары.
Таблица 3.2
Таблица истинности всех функций двух переменных
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1.
– тождественный ноль,
– тождественная
единица.
2.
–
конъюнкция,
– отрицание
конъюнкции – штрих
Шеффера.
3.
– дизъюнкция,
– отрицание
дизъюнкции – стрелка
Пирса (или
штрих
Лукасевича).
4.
– импликация,
–
отрицание импликации
(специального названия нет).
5.
– антиимпликация или обратная импликация,
в которой посылка
,
а следствие
,
– отрицание
антиимпликации (без специального
названия).
6.
- эквивалентность,
–
отрицание
эквивалентности или сложение
по модулю два.
7.
– всегда принимает значения, равные
переменной
,
– всегда принимает
значения, равные отрицанию переменной
.
8.
– всегда принимает значения, равные
переменной
,
–
всегда принимает
значения, равные отрицанию переменной
.
Из
введенных простейших булевых функций
можно строить с помощью суперпозиций
более сложные булевы функции. Например,
если в функцию
вставить вместо аргумента t
функцию
,
то получим следующую сложную функцию:
.
Если в нее, в свою очередь, вставить
вместо аргумента z
функцию
,
то получим сложную функцию
.
И так далее. В результате можно получить
булевы функции от трех, четырех и большего
числа переменных.