Методы расчетов размерных цепей

Для проведения размерного анализа, кроме расчетной схемы, составляют уравнение размерной цепи (вытекающее из условия замкнутости). Это уравнение в общем случае имеет следующий вид:

ξ₁ А₁ + ξ₂ А₂ + ξ₃ А₃ + … + ξ_m₊_n А_m₊_n= 0,

где А₁, А₂, А_m_+п – номинальные значения всех звеньев размерной цепи;

т – число звеньев размерной цепи, включая замыкающее;

п – число увеличивающих звеньев;

ξ₁;ξ₂,ξ₃,ξ_m₊_n – (кси) коэффициенты, характеризующие расположение звеньев по величине и направлению или передаточные отношения.

Передаточные отношения показывают степень влияния размера и отклонения составляющего звена на размер, а также отклонение замыкающего звена. В размерных цепях с параллельными звеньями (линейных цепях)

|ξ₁| = |ξ₂| = |ξ₃| = … = |ξ_m₊_n| = 1.

Для цепей с непараллельными звеньями передаточные отношения изменяются в пределах: 0 ≤ ξ ≤ 1 – для увеличивающих составляющих звеньев; -1 ≤ ξ ≤ 0 – для уменьшающих составляющих звеньев. При решении линейных размерных цепей коэффициенты ξ (кси) обычно опускают.

При решении прямой и обратной задач размерного анализа расчеты размерных цепей выполняют:

методом максимума – минимума, при котором учитывают только предельные отклонения составляющих звеньев. Метод обеспечивает полную взаимозаменяемость изделий. Данный метод экономически целесообразен для цепей с небольшим числом звеньев (3...5), составленных из размеров пониженной точности (с большими полями допусков);
теоретико-вероятностным методом, при котором учитываются законы рассеяния размеров деталей и случайный характер их сочетания при сборке.

Пример. По расчетам проф. А. А. Бородачёва при равной вероятности получения составляющих звеньев с размерами, соответствующими любым точкам полей их допусков, вероятность наихудших сочетаний размеров (всех наибольших или всех наименьших) у девятизначной размерной цепи составляет Р =2∙10^-13. Это значит, что если ежедневно выпускать по миллиону комплектов изделий, то крайние сочетания размеров, рассчитанных методом максимума – минимума, будут встречаться в среднем один раз в 10 – 15 тыс. лет.

Теоретико-вероятностным методом следует пользоваться при расчете многозвенных размерных цепей, составленных из размеров с ограниченными допусками. Он позволяет в два и более раза увеличить поле допусков размеров деталей, что снижает стоимость их изготовления и удешевляет изделие в целом.

Пример. При обработке по методу автоматического получения размеров заготовку устанавливают в патрон по двойной направляющей В и опорной С базам (рисунок 7, а). Размер А₁ = 100_-0,46 мм заготовки соответствует длине детали. При обработке снимают припуск на длине А₂, при этом конструкторский размер А_Δ= 60_-0,2 мм должен получаться автоматически. Необходимо определить номинальное значение и предельные отклонения для технологического размера А₂.

Составим трехзвенную размерную цепь А (рисунок 7, б). Размер, подлежащий выполнению, включим в нее в качестве замыкающего, т.е. А = 60_-0,2 мм.

Из выражения А_Δ = А₁ – А₂ следует, что А₂ = А₁ – А_Δ= 100 – 60 = 40 мм. Допуск ТА_Δ = ТА₁ + ТА₂, откуда ТА₁= ТА_Δ – ТА₂= 0,2 – 0,46 = - 0,26 мм.

Допуск отрицательной величиной быть не может. Примем А₁ = 100_-0,1мм, тогда ТА₂ = 0,2 – 0,1 = 0,1 мм.

Далее определим предельные значения размера А₂:

А_Δ^m^ах = А₁^тах – А₂^тⁱⁿ А₂^тⁱⁿ = А₁^тах – А_Δ^тах= 100 – 60 = 40 мм;

А_Δ^min = А₁^тⁱⁿ – А₂^тах А₂^т^ax = А₁^тⁱⁿ – А_Δ^тⁱⁿ= 99,9 - 59,8 = 40,1 мм.

з этих уравнений имеем А₂= 40^+0,1 мм. Заметим, что технологический размер А₂получился с односторонним предельным отклонением +0,1 мм с полем допуска, направленным в тело детали, что удобно при настройке станка и в работе.

А₂