5.1 Предмет теорії комбінаторних алгоритмів (обчислювань)

Комбінаторика - розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору і розташування елементів деякої, зазвичай кінцевої множини відповідно до заданих правил.

Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції з елементів початкової множини, названою комбінаторною конфігурацією. Тому можна сказати, що метою комбінаторного аналізу є вивчення комбінаторних конфігурацій. Це вивчення включає питання існування комбінаторних конфігурацій, алгоритми їх побудови, оптимізацію таких алгоритмів, а також вирішення завдань перерахування, зокрема визначення числа конфігурацій даного класу. Простим прикладом комбінаторних конфігурацій є перестановки, поєднання і розміщення.

Комбінаторика є прадавньою і, можливо, ключовою гілкою математики. Всякому аналізу передує комбінаторний розгляд, всяка серйозна теорія має комбінаторний аналог.

Комбінаторика має в своєму розпорядженні настільки багатообразні методи, вирішує настільки всілякі завдання, що важко чітко позначити її кордони. Умовно в комбінаторній теорії можна виділити наступні три великі частини (див. схему):

Теорію конфігурацій, що включає блок - схеми, групи підстановок, теорію кодування.

Теорію перерахунку, що містить похідні функції, теореми обертання і числення скінчеих різниць.

Теорію порядку, що включає кінцеву впорядковану безліч і грати, матроїди і теореми існування, подібне до теорем Холла і Рамсея.

Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, оптимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку.

5.2 Правила множення і суми для знаходження

потужності множин

Правило суми: Якщо для досягнення мети достатньо виконати будь-яку одну з k можливих дій, першу з яких можна виконати способами, другу - способами, і так далі до k-ї дії, яку можна виконати способами, то кінцевої мети можна досягти

способами.

Правило добутку: Якщо для досягнення мети необхідно строго послідовно виконати k дій, першу з яких можна виконати способами, другу після виконання першої - способами, і так далі до k-ї дії, яку можна виконати способами, то кінцевої мети можна досягти способами.

5.3 Види задач підрахунку числа елементів множин

Основними і типовими операціями і пов'язаними з ними завданнями комбінаторики є наступні:

1) утворення впорядкованої безлічі, що полягає у встановленні певного порядку дотримання елементів безлічі один за одним, - складання перестановок;

2) утворення підмножин, що полягає у виділенні з даної безлічі деякої частини його елементів, - складання поєднань;

3) утворення впорядкованих підмножин - складання розміщень.

ТИПИ КОМБІНАТОРНИХ ЗАВДАНЬ.

1. Магічний квадрат - квадратна таблиця (n * n) цілих чисел від 1 до n¤ така, що суми чисел уздовж будь-якого стовпця, будь-якого рядка і двох діагоналей таблиці дорівнюють одному і тому ж числу s=n(n¤+1) /2. Число n називають порядом магічного квадрата.

Доведено, що магічний квадрат можна побудувати для будь-якого n Є 3. Вже в середні віки був відомий алгоритм побудови магічних квадратів непарного порядку. Існують магічні квадрати, удоволетворяющие ряду додаткових умов, наприклад магічний квадрат з n=8, який можна розділити на чотири менші магічні квадрати 4x4. У Індії і деяких інших країнах магічні квадрати вживалися як талісмани. Проте загальної теорії магічних квадратів не існує. Невідоме навіть загальне число магічних квадратів порядку n.

2. Латинський квадрат - квадратна матриця порядку n, кожен рядок і кожен стовпець якої є перестановками елементів кінцевої безлічі S, що складається з n елементів.

3. Завдання розміщення - одне з класичних комбінаторних завдань, в якому потрібно визначити число способів розміщення m різних предметів в n різних вічках із заданим числом r порожніх вічок. Це число рівне

r n-r m

C (r)=C дельта O, r=0,1,2...,n,

nm n

де

до m до j j m

дельта O =сигма (-1) C (к-j)

j=0 до

4. Завдання комівояжера, завдання про бродячого торговця - комбінаторне завдання теорії графів. У простому випадку формулюється таким чином: дани n міст і відома відстань між кожними двома містами; комівояжер, що виходить з якого-небудь міста, повинен відвідати n-1 інших міст і повернутися в початковий. У якому порядку повинен він відвідувати міста (по одному разу кожен) аби загальна пройденноє відстань була мінімальною?

Методи рішення задачі комівояжера, по суті, зводяться до організації повного перебору варіантів.

МЕТОДИ ВИРІШЕННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАВДАНЬ