4.5.2 Поняття графа як структури даних.

Граф — це сукупність об'єктів із зв'язками між ними.

Об'єкти розглядаються як вершини, або вузли графу, а зв'язки — як дуги, або ребра. Для різних областей використання види графів можуть відрізнятися орієнтованістю, обмеженнями на кількість зв'язків і додатковими даними про вершини або ребра.

Велика кількість структур, які мають практичну цінність в математиці та інформатиці, можуть бути представлені графами. Наприклад, будову Вікіпедії можна змоделювати за допомогою орієнтованого графу, в якому вершини — це статті, а дуги (орієнтовані ребра) — посилання на інші статті.

Граф зі шістьма вершинами та сімома ребрами.

Першою працею з теорії графів як математичної дисципліни вважають статтю Ейлера (1736), у якій розглядалася задача про Кенігсбергські мости. Наступний імпульс теорія графів отримала близько 100 років потому з розвитком досліджень по електричним мережам, кристалографії, органічній хімії та іншим наукам.

Граф або неорієнтований граф G — це впорядкована пара G: = (V,E), для якої виконуються наступні умови:

V — множина вершин або вузлів,

E — множина пар (у випадку неорієнтованого графу — невпорядкованих) вершин, які називають ребрами.

V (і так само E) зазвичай вважаються скінченними множинами. Велика кількість результатів, отриманих для скінченних графів, невірна (або інша) для нескінченних графів. Це пов'язано з тим, що певний набір ідей стає хибним у випадку нескінченних множин.

Граф (геометричний граф) — це фігура на площині, яка складається з непорожньої скінченної множини V точок (вершин) і скінченної множини E орієнтованих чи не орієнтованих ліній (ребер), що з'єднують деякі пари вершин.

Орієнтований граф

Граф, який містить тільки ребра називається неорієнтованим, який містить тільки дуги — орієнтованим. Якщо пара вершин сполучається кількома ребрами чи дугами одного напрямку, то ребра (дуги) називають кратними (паралельними). Дуга чи ребро що сполучає вершину саму із собою називається петлею. Граф без кратних дуг і петель називається простим.

Вершини сполучені ребром чи дугою називають суміжними, також називають суміжними ребра, що мають спільну вершину. Ребро (чи дуга) і її вершина називаються інцидентними. Ребро (u, v) з'єднує вершини u і v, дуга (u, v) починається у вершині u і закінчується у вершині v.

Кожен граф можна відобразити в евклідовому просторі множиною точок, які відповідають вершинам, сполучених лініями, що відповідають ребрам (дугам).

Іноді є потреба пару вершин з'єднати більше, ніж одним ребром. Мультиграфом називають пару G=(V,E), де V — множина, елементи якої називають вершинами. E — сім'я ребер, кожне з яких — це пара вершин із V.

Ребра, які з'єднують одну й ту саму пару вершин, називають кратними (перелельними) ребрами.

Мультиграф, який може мати петлі, іноді називають псевдографом.

Тип графу	Ребра	Кратні ребра
Простий граф	Неорієнтовані	Ні
Мультиграф	Неорієнтовані	Так
Орієнтований граф	Орієнтовані	Ні
Орієнтований мультиграф	Орієнтовані	Так