3. Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконтом называется доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Введем обозначения:

• d (% ) - простая годовая учетная ставка;

• d - относительная величина учетной ставки;

• Dr - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

• D - общая сумма процентных денег;

• S - сумма, которая должна быть возвращена;

• P - сумма, получаемая заемщиком.

Согласно определениям имеем следующие формулы (3.18 – 3.22):

D = (3.18)

D_г = d S; (3.19)

D = n D_г = n d S; (3.20)

P = S –D = S (1 – n d) = S (1 - (3.21)

(3.22)

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т.е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Период начисления и учетная ставка при прочих заданных условиях определяются по формулам (3.23 – 3.24):

(3.23)

(3.24)

4. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Введем обозначения:

• i_с – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

• k_н.с – коэффициент наращения в случае сложных процентов;

• j – мноминальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (3.7), составит S₁=P (1+ i_c). Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁: S₂ = S₁ (1 + i_c) = P (1+ +i_c)².

Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма будет определяться по формуле (3.25).

S = Р (1 + i_c)ⁿ . (3.25)

Множитель наращения k_н.с. соответственно будет определяться формулой (3.26).

k_н.с. = (1 + i_c)ⁿ . (3.26)

При начислении простых процентов он составил бы (1 + ni) (формулы (3.5) и (3.7).

Очевидно, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по формуле (3.27).

(3.27)

где n = n_a+ n_b;

n_a – целое число лет;

n_b – оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.25) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе.

Если уровень ставки сложных про­центов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n₁, n₂, n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂, ..., i_N - годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (3.7), составит: S₁ = Р (1 + n₁ i₁); в конце второго интервала: S₂ = Р (1+ n₁ i₁) (1+ n₂ i₂), и т.д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

(3.28)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.28) трансформируется в формулу (3.29).

(3.29)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (3.25), получаем выражение для определения наращенной суммы (формула (3.30):

S_mn = P (1+ ) ^mn, (3.30)

где тп – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп – целое число интервалов начисления, l – часть интервала начисления), то формула (3.31):

S = P (1+ ) ^mn (1 + l ). (3.31)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (формула (3.25), а для оставшейся части – формула простых процентов (формула 3.7).

Проценты, начисляемые с определенной периодичностью (полгода, квартал, месяц, день), называются дискретными. Часто применяется непрерывное начисление сложных процентов (продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т - к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит формула (3.32):

. (3.32)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу (3.33):

, (3.33)

где е=2,71828…

Из этой формулы следует формула (3.34):

(3.34)

Тогда для наращенной суммы получаем формулы (3.35-3.36):

. (3.35)

. (3.36)

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора, или находя значения e^jn и других требуемых величин в специальных таблицах (Приложение).

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (т. е. при одинаковых п, j, Р).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.25) получаем формулу (3.37):

. (3.37)

где Кд – коэффициент дисконтирования – величина обратная коэффициенту

наращения.

Таким образом, из приведенного выше, можно сделать вывод, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Преобразуя формулы (3.25) и (3.30), получаем, соответственно, формулы (3.38) и (3.39):

i = - 1 (3.38)

j =m ( - 1) (3.39)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.25), получаем формулу (3.40):

(3.40)

Подобным же образом из формулы (3.30) получаем формулу (3.41)

(3.41)