4.3. Уравнения динамики тела переменной массы

В полете БЛА главным образом вследствие работы двигателей часть массы, заключенная внутри его корпуса, с течением времени непрерывно отделяется. В связи с этим возникает необходимость определить, какие частицы следует включать в состав БЛА и какие считать уже отделившимися от нее. В этом вопросе имеется некоторая неопределенность: не ясно, в какой именно момент частица, движущаяся в струе газов, вытекающих из камеры сгорания двигателя, «покидает» БЛА. Эту неопределенность можно устранить введением контрольной поверхности, условно рассматриваемой как граница БЛА. В качестве такой поверхности, которую далее будем называть также оболочкой, удобно принять замкнутую поверхность, образуемую наружной поверхностью БЛА и выходными сечениями сопел двигателей. В состав БЛА включаются только те частицы, которые в данный момент находятся внутри этой поверхности.

Через некоторую часть контрольной поверхности происходит истечение массы, что приводит к изменению состава заключенных в ней материальных частиц. Поэтому при изучении движения БЛА необходимо рассматривать как материальную систему переменного состава.

Классические теоремы динамики систем постоянного состава - теоремы об изменении количества движения и изменении кинетического момента - к системам переменного состава непосредственно не применимы. Однако, используя эти теоремы, можно вывести аналогичные теоремы для систем переменного состава и сформулировать принцип составления уравнений движения для таких систем, и в частности для БЛА.

Рассмотрим замкнутую поверхность S (рис. 4.5), которая ограничивает объем V, заполненный разнообразными (твердыми, жидкими, газообразными) материальными частицами. С течением времени одни частицы выходят из объема V, а другие, наоборот, входят в него. Совокупность материальных частиц, заключенных в объеме V, является системой переменного состава; обозначим эту систему буквой А.

Рис. 4.5. Движение тела переменной массы

относительно инерциальной системы координат

Пусть поверхность S и материальные частицы перемещаются относительно некоторой системы координат OXYZ. Поверхность S при этом может и деформироваться. Количество движения и кинетический момент системы А относительно точки О обозначим соответственно через К и L.

Наряду с системой А введем в рассмотрение систему постоянного состава А*, состоящую из тех и только тех материальных частиц, которые в некоторый фиксированный момент времени t заполняли объем V. Обозначим через К* и L* количество движения и кинетический момент системы А* относительно точки О.

Системы переменного состава - А и постоянного состава - А* в момент времени t совпадают. Поэтому

, . (4.1)

При системы А и А* будут состоять, вообще говоря, из разного количества частиц. Вследствие этого количество движения и кинетический момент системы А будут отличаться от количества движения и кинетического момента системы А* а именно:

. (4.2)

Векторы и представляют изменения количества движения и кинетического момента системы А, связанные с изменением ее состава за время .

Вычтем (4.1) из (4.2) и разделим полученную разность на . Переходя далее к пределу при и учитывая при этом, что

; (4.3)

получим

, . (4.4)

Производные и представляют собой секундные расходы количества движения и кинетического момента через поверхность S в момент времени t.

Соотношения (4.4) имеют кинематический характер и справедливы для любой системы координат (инерциальной или неинерциальной).

Допустим теперь, что OXYZ - инерциальная система координат. К системе А*, как к системе постоянного состава, применимы теоремы классической динамики об изменении количества движения и изменении кинетического момента, которые формулируются так:

1. Производная по времени oт количества движения системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил.

2. Производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра (в данном случае, относительно точки О) равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

На основании этих теорем в фиксированный момент времени t

; , (4.5)

где и - соответственно главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих в момент времени t на систему А*, а значит, и на систему А. Из равенств (4.4) и (4.5) следуют равенства:

, . (4.6)

Соотношения (4.6), полученные для данного момента времени t, остаются справедливыми и для любого другого момента времени , если считать, что и главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на систему А, a и - секундные расходы количества движения и кинетического момента через поверхность S в рассматриваемый момент времени .

Формулы (4.6) представляют математическую запись теорем об изменении количества движения и кинетического момента системы переменного состава.