108

Глава 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

1. 4.1. Общие сведения о математических моделях

2. И методах получения дифференциальных уравнений, описывающих движение бла

При решении задач военно-технического проектирования перспективных БЛА, объектом исследования служат их математические модели, причем при расчетах моделируют также и условия разработки, производства, эксплуатации и боевого применения.

Для исследования управляемого движения БЛА необходимо иметь математическое описание - модель движения объекта управления - корпуса БЛА.

Математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическая модель представляет собой систему математических зависимостей и логических правил (формул, уравнений, неравенств, логических условий и др.), определяющих характеристик моделируемого явления (системы, процесса или объекта) в зависимости от параметров модели, времени и начальных условий и др. входной информации.

Основным назначение математической модели является получение новой информации об исследуемой системе (явлении), прогнозирование ее возможных будущих состояний, выбор оптимальных (рациональных) методов и приемов управления моделируемой системой, имитации реальной системы с целью обучения или испытаний. Основными требованиями к математическим моделям являются их объективность и оперативность.

Под объективностью математической модели обычно понимают соответствие результатов моделирования реальным параметрам функционирования моделируемой системы. 0бъективность математической модели достигается системным подходом, детальным учетом наиболее существенных факторов, условий и их взаимной связи для моделируемой системы, постоянной поверкой получаемых результатов моделирования с функционированием реальной системы с практикой.

Под оперативностью математической модели и математического моделирования понимают промежуток времени между началом моделирования (определением необходимой исходной информации) и получением конечных результатов. Высокая оперативность математической модели достигается использованием при моделировании современных быстродействующих ЭВМ, разработкой и применением рациональных методов и приёмов решения задач, входящих в математическую модель приближённым учётом в математической модели второстепенных факторов и условий (при обязательной проверке сохранения достаточной объективности математической модели).

Сложность и многообразие свойств и условий функционирования реальных систем обычно не позволяют описать их одной универсальной математической модели, отвечающей требованиям объективности и оперативности. Поэтому, как правило, создаются системы математических моделей согласованные по показателям, входной и выходной информации, достаточно полно описывающие различные стороны функционирования моделируемой системы. Для крупных и сложных процессов (напр., процессы функционирования сложных экономических систем, боевых действий войск, их тылового, боевого и др. видов обеспечения) целесообразно создание «человеко-машинных» математических моделей, позволяющих оценивать промежуточные результаты моделирования, уточнять и варьировать исходные данные, изменять порядок моделирования и т. п.

В зависимости от целей и предназначения математические модели условно подразделяются на административные (штабные), исследовательские и обучающие, а в зависимости от области применения и вида моделируемой системы - на математические модели боевых действий тылового, боевого и др. видов обеспечения; функционирования техники и боевых средств; экономики; развития производства и др.

По получаемым результатам математические модели условно разделяются на имитационные или описательные (для обучения личного состава и испытания системы); оценочные (для сравнения вариантов планов и решений); оптимизационные (для получения «оптимальных» по тому или иному критерию вариантов планов и решений).

По применяемым методам моделирования математические модели делят на аналитические, статистические и смешанные. В аналитических математических моделях все зависимости между параметрами модели, начальными условиями и входной информацией, временем и результатами моделирования выражаются в виде формул, уравнений и неравенств. В статистических и смешанных математических моделях та или иная часть случайных величин задаётся законами их распределения и при каждом испытании определяется случайной выборкой (метод Монте-Карло), результаты серий испытаний обрабатываются методами математической статистики.

В зависимости от наличия и форм учёта неопределённостей математические модели разделяются на детерминированные и стохастические. В детерминированных математических моделях все условия и связи считаются строго определёнными и не случайными. В стохастических математических моделях та или иная часть условий и связей является случайной и носит вероятностный характер. Наибольшее распространение в стохастических моделях получило представление результатов моделирования в виде средних значений (математических ожиданий) определяемых величин.

Разработка математических моделей и проведение математического моделирования - весьма сложный процесс, требующий глубокого и всестороннего анализа моделируемой реальной системы, хороших знаний специальных вопросов исследования операций, математики и электронной вычислительной техники.

Философская предпосылка к использованию математических моделей - единство законов природы, объединяющих в известном отношении далекие друг от друга явления. Теоретической основой разработки и применения математических моделей служит теория подобия, рассматривающая вопросы постановки экспериментов, обработки опытных данных, обобщение и распространение полученных результатов на другие системы, объекты, процессы или явления.

Модель - в широком смысле - любой образ, аналог (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала» данной модели), используемый в качестве его «заместителя», «представителя».

В математике и логике - моделью какой-либо системы аксиом называют любую совокупность (абстрактных) объектов, свойства которых и отношения между которыми, удовлетворяют данным аксиомам, служащим тем самым совместным (неявным) определением такой совокупности.

Моделирование это исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей; использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов. Моделирование - одна из основных категорий теории познания: на идее моделирования по существу базируется любой метод научного исследования - как теоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Моделирование движения БЛА основывается на известных методах классической теоретической механики и учетом доступного уровня наблюдаемости и управляемости конкретной конструкции БЛА.

Цель математического моделирования движения БЛА - определение неизвестных параметров линейного и углового движения объекта управления - корпуса конкретного типа БЛА в условиях действия внешних возмущений и решения задачи наведения.

Пространственное движение БЛА как абсолютно твердого тела описывается шестью уравнениями:

• тремя уравнениями проекций сил на оси прямоугольной системы координат;

• тремя уравнениями моментов сил, характеризующих движение относительно центра масс БЛА в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

При этом вводятся допущения:

• планета Земля представляет собой не вращающуюся сферу;

• полет БЛА происходит в условиях стандартной атмосферы в центральном поле тяготения планеты;

• БЛА представляется абсолютно твердым телом постоянной массы;

• не учитывается влияние возмущающих сил и моментов на движение БЛА, не учтенных в принятой модели;

• управляющие силы и моменты в данный момент времени на борту БЛА не сформированы.

При постановке задачи на моделирование учитывается степень достоверности математического описания объекта управления. При достаточно полном описании объекта управления, дифференциальные уравнения, как правило, приобретают нелинейный вид. Решения первого приближения позволяют ограничиваться рассмотрением линеаризованных уравнений движения объекта. Для получения решений первого приближения исходные дифференциальные уравнения подвергают линеаризации, пренебрегая при этом влиянием нелинейных членов.