6. Численные методы решения нелинейных уравнений.

Перед решением нелинейного уравнения обычно решают задачу определения интервалов корней.

Очень часто у нелинейного уравнения существует несколько корней, но вычислителя интересуют решения, лежащие на определённом интервале.

Для оценки интервалов возможных корней удобно пользоваться свойством смены знака .

Если найден интервал нахождения корня , то можно запустить алгоритм численного метода, позволяющего найти корень с наперёд заданной точностью.

6.1.1. Алгоритм поиска корня уравнения методом деления пополам.

Данный метод, не являясь самым «быстрым», всегда найдёт значение корня уравнения, если этот корень принадлежит интервалу .

м – условие нахождения корня на заданном интервале.

Есть простая итерационная процедура, с помощью которой, меняя либо левую, либо правую границу поиска корня, можно приблизиться к истинному значению корня.

При достижении требуемой точности процесс итерации останавливается.

Выход из процедуры лучше всего контролировать как значению аргумента , так и по значению функции .

Если требуется найти корень с точностью , то деление отрезка пополам продолжается до тех пор, пока длинна отрезка не станет меньше .

6.1.2. Метод нахождения корня с помощью секущих.

Алгоритм поиска корня в методе секущих базируется на уравнении прямой, проходящей через две заданные точки и нахождения точки пересечения этой секущей с осью .

Для обязательно выполняется проверка знака со знаками функций на левом и на правом концах интервала. Совпавшая по знаку функция, на не совпавшую, для нахождения следующих приближений . Как и в методе деления пополам итерационный процесс продолжается до достижения желаемой точности.

6.1.3. Метод Ньютона (касательных).

Метод Ньютона непосредственно вытекает из представления функции в виде ряда Тейлора:

в качестве шага приближения можно выбрать некоторую последовательность и найти такое .

- формула Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения.

Производную можно вычислить приближенно м помощью разностного соотношения

Если решаемое уравнение не слишком сложно, то лучше оформить производную функции в виде аналитической подпрограммы.

Как и метод секущих, метод Ньютона не относится к методам абсолютно сходящимся. Для метода секущих и касательных, согласно ряду Тейлора, сходимость итерационного процесса очень сильно зависит от значения 2-ой производной на интервале поиска .

6.1.4 Метод простой итерации.

Данный метод наиболее удобен с точки зрения организации процесса итерации. Он достаточно быстрый, но может быть расходящимся. Метод простой итерации базируется на преобразовании исходного уравнения к виду , при этом для сходимости итерационного процесса требуется выполнение условия , где - некоторая константа.

На втором этапе необходимо задать начальное приближение , принадлежащем интервалу нахождения корня, а также число - заданную точность.

Вычисляем следующее приближение . Повторяем итерационную процедуру пока .

Задание на лабораторную работу №3

№1

организовать алгоритм нахождения корней квадратного уравнения методом простой итерации, оценить сходимость процесса итераций в зависимости от преобразования уравнения:

преобразование

1.

2. .

Тогда в преобразованном исходном уравнении можно получить оценку о сходимости итераций. Воспользуемся для преобразованного уравнения формулой Лагранжа и оценим поведение функции в окрестности произвольной точки :

, где

Если на функцию наложить условие , то модули приращения будут зависеть от параметра . Отсюда следует условие для преобразования исходного уравнения: правая часть уравнения должна иметь значение по модулю меньше единицы, т.е. производная правой части окрестности корня должна быть меньше единицы. Иначе итерационный процесс будет расходящимся.

№2

Для заданного числа Маха и угла поворота потока найти угол наклона косого скачка уплотнения . Задачу решить двумя методами – методом деления пополам и любой подпрограммой из библиотеки IMSL. Сравнить потребное число итераций при одинаковом начальном .

, где - скорость потока; - скорость звука.

, где для воздуха.

Данное трансцендентное уравнение имеет два вещественных корня и . В качестве нулевого приближения можно воспользоваться известными аналитическими решениями.

Если , то ,

.

Точности нахождения корней , назначить следующие: , ,