3. Основные методы решения слау. Особенности численных алгоритмов.

СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений.

Все задачи специальности (решения дифференциальных уравнений, включая уравнения в частных производных, задачи оптимизации и т.д.) всегда сводятся к СЛАУ.

Все матрицы как в левой, так и в правой части есть результат неких вычислений, т.е. в них присутствуют ошибки округления. Тогда можно говорить об устойчивости полученного решения.

Пример. Влияние погрешностей на результат решения СЛАУ.

Решим матричное уравнение , где - квадратная матрица коэффициентов, и - вектора.

1.

2.

3.

4.

В независимости от исходной матрицы полученное на ЭВМ решение всегда будет являться приближённым. Из приведённых примеров видно, что малые округления в матрицах и могут привести к существенному изменению результата.

Для оценки устойчивости, получаемого решения вводятся понятия числа обусловленности матрицы. Для вычисления числа обусловленности матрицы в библиотеке IMSL реализована функция COND(A).

Введём понятие нормы вектора. Нормой матрицы , где и называется действительное число, обозначаемое и удовлетворяющая следующим условиям:

1) при и тогда и только тогда, когда - нулевая матрица;

2) для любого действительного ;

3) , где , - некоторые матрицы;

4)

Вычисления норм матриц и векторов можно производить различными путями. Для векторов для матриц

Согласование нормы матрицы с нормой векторов осуществляется с помощью неравенства: .

Число обусловленности матрицы определяется как: .

Условно можно обозначить следующие критерии обусловленности матриц:

- матрица хорошо обусловленная

- матрица плохо обусловлена. Полученные решения стоит проверить на корректность.

- решение заведомо некорректно.

Число обусловленности характеризует степень зависимости относительной погрешности решения СЛАУ от погрешности входных данных.

тогда

Прежде чем решать СЛАУ необходимо оценить меру обусловленности!

4. Основные численные методы решения слау.

Все методы решения СЛАУ принято разделять на:

1. прямые (точные);

2. итерационные.

В прямых методах решения СЛАУ выстраивается некий последовательный алгоритм преобразования матриц (вычисления по формулам), тогда как в итерационных методах осуществляется последовательное решение СЛАУ до установления решения.

4.1 Прямые (точные) методы решения слау.

4.1.1 Правило Крамера.

Если матрица - квадратная и её определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение , координаты которого могут быть вычислены по формуле:

, , где - определитель матрицы , - определитель матрицы, полученный из заменой её -го столбца на столбец .

Метод Крамера (метод определителей)имеет достаточно простой алгоритм, однако компьютерной реализации не получил. В методе Крамера число последовательных операций определяется формулой:

, решение системы размером может занять годы!