8.2. Простейшие функции алгебры логики.

Кроме приведенных выше трех элементарных логических функций практический интерес представляют еще 13. В таблице №2 приведены 16 простейших функций двух переменных х1 и х2.

Таб.2

Функ-ции	х1х2				Обозначение функции
	00	01	10	11
F0	0	0	0	0	константа нуль
F1	0	0	0	1	конъюнкция (и) - х1х2
F2	0	0	1	0	запрет первого аргумента - х1х2
F3	0	0	1	1	повторение первого аргумента – х1
F4	0	1	0	0	запрет второго аргумента - х1х2
F5	0	1	0	1	повторение второго аргумента – х2
F6	0	1	1	0	сложение по модулю 2 (исключающее или)- х1х2+ х1х2
F7	0	1	1	1	дизъюнкция (или) – х1+х2
F8	1	0	0	0	функция Пирса (или-не) – х1+х2
F9	1	0	0	1	равнозначность (искл. или-не)
F10	1	0	1	0	инверсия x2 (не)
F11	1	0	1	1	импликация от 1-го до2-го – х1+х2
F12	1	1	0	0	инверсия x1 (не)
F13	1	1	0	1	импликация от 2-го до1-го – х1+х2
F14	1	1	1	0	функция Шеффера (и-не) – х1х2
F15	1	1	1	1	константа единица

8.3. Принцип двойственности.

Рассмотрим таблицы истинности для функций И и ИЛИ. Нетрудно заметить, что таблицы легко взаимно трансформируются. Действительно, если параметры и функцию И инвертировать, а конъюнкцию заменить дизъюнкцией, получим определение функции ИЛИ.

Свойство взаимного преобразования постулатов конъюнкции и дизъюнкции называется принципом двойственности. Именно поэтому законы алгебра логики представлены в двух формах записи: конъюнктивной и дизъюнктивной. Принцип двойственности имеет большое практическое значение, сокращая до двух (И+НЕ или ИЛИ+НЕ) количество элементарных функций, необходимых для построения сложных логических выражений.

8.4. Логические функции и логические элементы.

Вводя понятие логической функции в начале лекции (см.рис.1), мы представляли логическое устройство, реализующее эту функцию, в виде «черного ящика». В действительности устройство состоит из набора электронных схем, причем вид логической функции и состав набора схем связаны определенным образом. Аналогично тому, как сложное логическое выражение можно составить из элементарных функций, сложное логическое устройство можно представит в виде комбинации элементарных логических элементов (схем). Соответственно каждой элементарной ФАЛ можно сопоставить электронную схему (логический элемент - ЛЭ). В таблице №3 приведены некоторые простейшие ФАЛ и эквивалентные логические элементы.

Таб.№3.

Функция	Имя ф-ции	Запись	Графическое обозначение ЛЭ
F1	и	х1х2	&
F6	исключающее или	х1х2+ х1х2	. м2
F7	или	х1+х2	1
F8	или не	х1+х2	1
F10	не	х1	1
F14	и-не	х1х2	&

8.5. Полная система логических функций. Понятие о базисе

 

Функционально полная система представляет собой набор логических функций, с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию. В этом случае говорят, что этот набор образует базис.

В соответствии с принципом двойственности любое сложное устройство можно реализовать в двух базисах:

    1) "И-НЕ" (базис Шеффера)

2) "ИЛИ-НЕ" (базис Пирса или функция Вебба).

 

Примеры реализации логических операций в базисах “И-НЕ” и “ИЛИ-НЕ”.

               

Рис.3.Реализация операции “НЕ”:

Для реализации функции И сделаем следующие преобразования:

у=х1х2  у=х1+х2 = х1х2. Откуда видно, как И можно реализовать в обоих базисах:

            

1

х1х2 & х1х2

1 х1+х2

&

1

Рис.4.Реализация операции И в базисе И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

          

Рис.5.Реализация операции ИЛИ в базисе И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Пример реализации комбинационного устройства в базисе "И-НЕ". Пусть задана функция, реализуемая комбинационным устройством, в аналитической форме

F=x1x2+x3x4+x1x4

Используя закон де Моргана и с учетом закона двойного инвертирования, запишем эту функцию в виде

F = x1x2+x3x4+x1x4 = (x1x2)(x3x4)(x1x4)

 

Как следует из полученного аналитического выражения, логическое устройство должно содержать три двухвходовых и один трехвходовой элемент И-НЕ. Функциональная схема комбинационного устройства, построенная в базисе И-НЕ, показана на рис. 6.

                 

Рис.6.

8