Лабораторная работа № 2

ИМИТАЦИЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ,

ПРОВЕРКА ЗАКОНА ЭЙНШТЕЙНА,

ТЕРМОМЕТРИЯ В СИСТЕМЕ МАГНИТНЫХ ШАРИКОВ

Оборудование: соленоид на регулируемой по высоте подставке, прозрачная плоская коробка с прямоугольной шкалой, магнитные шарики, немагнитный цилиндрик, лабораторный автотрансформатор, вольтметр.

Общие представления

Открытое в 1827 году ботаником Р. Броуном хаотическое движение мельчайших макроскопических частиц сыграло в истории науки выдающуюся роль. Именно его в 1908 году использовал Ж. Перрен со своими помощниками, чтобы на опыте подтвердить закономерности флуктуационных явлений, полученные за три года до этого А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Тем самым наука получила надежный метод нахождения фундаментальных констант молекулярно-кинетической теории, а она сама - свое прямое экспериментальное доказательство.

Заметим, что успех опытов Перрена с броуновскими частицами связан с их пограничным (промежуточным) размером между макро- и микромиром. С одной стороны, эти частицы настолько малы, что их хаотическое (тепловое) движение уже наблюдаемо, а его характеристики измеримы. С другой стороны, они все ещё велики настолько, что их окружение ведет себя как сплошная вязкая среда, для которой можно использовать макроскопическое описание. Поэтому подобные эксперименты в высшей степени познавательны.

Но воспроизвести опыты Перрена и получить закономерности реального броуновского движения в общем физическом практикуме не представляется возможным. Однако нечто подобное можно с успехом проделать на электромеханической модели с магнитными шариками, псевдотепловое движение которых поддерживается переменным магнитным полем соленоида с током. Броуновскую частицу в такой модели имитирует немагнитный цилиндрик (шайба), хаотическое движение которого подчиняется тем же закономерностям.

На описанной макроскопической модели нетрудно организовать визуальную съемку координат "броуновской" частицы в режиме непрерывного движения по методике Перрена. А затем проверить основной закон случайного блуждания (закон Эйнштейна), который в отсутствие внешнего силового поля выражается формулами [1]

, (1)

где Δx - смещение броуновской частицы за время Δt по заданному направлению, D - коэффициент диффузии. Последний определяется из закона Фика , где J - плотность потока частиц, dn/dx - градиент их концентрации.

В отличие от Перрена в данной работы мы будем интересоваться не постоянной Больцмана эрг/К, а эффективной температурой в системе магнитных шариков. Эта система (в возбужденном состоянии) не находится в равновесии с окружающей средой, а потому их температуры и могут сильно различаться.

Подобно Перрену мы воспользуемся соотношением Эйнштейна

, (2)

где B - коэффициент подвижности частицы, определяемый как B = u/F. Здесь u - скорость упорядоченного движения частицы под действием сторонней силы F, которая уравновешивается силой сопротивления , приложенной со стороны окружающей среды.

Реальная броуновская частица по линейным размерам на три порядка превосходит молекулы окружающей жидкости, а скорость её теплового движения сравнительно невелика. Поэтому действующую на неё силу можно находить по формуле Стокса.

На имитационной модели природа силы сопротивления , действующей на "броуновскую" частицу, иная, и рассчитать её теоретически, чтобы затем найти подвижность шайбы, затруднительно. Зато саму подвижность B можно найти экспериментально, измерив скорость сноса шайбы u при наклоне коробки на некоторый угол α по отношению к горизонту, например, в сторону оси x. В этом случае шайба будет испытывать действие составляющей силы тяжести .

Таким образом, перенося соотношение (2) на модель и используя найденные на опыте величины D и B, можно определить эффективную температуру системы . Заметим, что "броуновская" частица в данном случае выступает в качестве термометрического тела.

Напоследок обратимся к вопросу о природе силы сопротивления , действующей на шайбу.

Во-первых, система магнитных шариков в коробке подобна газу. При движении в нем большого тела среднее число ударов спереди и сзади неодинаково. Величина в модели и возникающая по этой причине сила сопротивления пропорциональны скорости шайбы u (попробуйте обосновать).

Во-вторых, на непрерывно движущуюся шайбу со стороны основания коробки действует сила трения скольжения. Ее среднее значение также пропорционально скорости шайбы (следует обосновать).

Таким образом, мы получаем, что , , где , - коэффициенты сопротивления соответственно со стороны магнитных шариков и основания коробки. Поскольку полная сила сопротивления , то для нахождения подвижности шайбы имеем формулу .

Вывести математические выражения для коэффициентов , на первый взгляд затруднительно. Но, если это сделать, то, по-видимому, станет возможным определение давления в системе магнитных шариков. Его можно и непосредственно измерить по методу [3], где использован пьезоэлектрический датчик, регистрирующий число ударов о площадку за единицу времени.