1. Сипаттамалық көпмүше базисті таңдап алудан тәуелсіз.

2. Егер а сызықты түрлендіру матрицасы симмиетриялы болса, онда сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері нақты сандар болады.

Мысал. x’=5x+4y, y’=8x+9y теңдеулерімен берілген А сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторын анықтау керек.

Шешуі. Түрлендіру матрицасын жазайық, . Сипаттамалық теңдеуін жазсақ:

, немесе ²-14 +13=0;

теңдеу түбірлері түрлендірудің сипаттамалық сандары болады, , .

сипаттамалық санға сәйкес өзіндік векторларды табу үшін мынадай теңдеулерді шешеміз:

(A- Е)Х = 0.

Ашып жазсақ,

болғандықтан теңдеулер жүйесі мынадай түрге келеді:

Жүйеден екендігі шығады. деп алсақ, жүйе шешімі болады. Кез келген үшін сипаттамалық санға сәйкес өзіндік вектор табылды.

Дәл осылай кез келген үшін сипаттамалық санға сәйкес келетін өзіндік вектор табылады.

Квадраттық формалар (қосымша оқу үшін)

Анықтама. айнымалылардың квадраттық формасы деп әрбір қосылғышы белгілі бір коэффициентке көбейтілген осы белгісіздердің не квадратынан, не екі белгісіздің көбейтіндісінен тұратын қосындыны айтады.

Егер қосылғыштардың алдындағы коэффициенттерін деп, ал ( ) алдындағы коэффициенттерін деп белгілесек, мұнда , онда квадраттық форма мына түрде жазылады:

(i=1,2,…,n) матрица квадраттық форма матрицасы деп аталады. Квадраттық форма матрицасы симметриялы болатынын байқау қиын емес.

Квадраттық форманы матрицалық түрде жазсақ,

,

мұндағы Х- элементтері айнымалылардан тұратын бағана матрица.

Мысал. квадраттық форманың матрицасын жазу керек.

Шешуі. Квадраттық форма матрицасының диагоналдық элементтері квадрат қосылғыштар алдындағы коэффициенттер болады, яғни 5, 1, 2; ал басқа элементтері қосылғыштардың алдындағы коэффициенттердің жартысына тең болады. Сонмен матрицаны жазсақ:

.

Енді квадраттық форма өзгеше емес сызықты түрлендірудің нәтижесінде қалай өзгеретінін көрейік.

Айталық және айнымалылардан тұратын бағана матрицалар мынадай сызықты қатынаспен байланысқан: X=CY, мұндағы (i=1,2,…,n) - өзгеше емес сызықты түрлендіру. Сонда квадраттық форма

f=X’AX=(CY)’A(CY)=(Y’C’)A(CY)=Y’(C’AC)Y.

Мұнда (CY)’=Y’C’ транспонерлеу қасиеті қолданылды.

Сонымен, X=CY өзгеше емес сызықты түрлендіру матрицасының түрі мынадай болады:

A*=C’AC.

Мысал. квадраттық формасынан сызықтық түрлендіру арқылы алынған квадраттық форманы анықтау керек.

Шешуі. Берілген квадраттық форма және сызықты түрлендіру матрицасын жазайық:

, .

A*=C’AC формуласын қолданып жаңа квадраттық форманың матрицасын табамыз:

A*= .

Сонда жаңа квадраттық форма былай жазылады:

.

квадраттық форманың барлық ( ) болса, онда квадраттық форма канондық түрде тұр делінеді:

,

ал оның матрицасы диагоналді болады.

Теорема. Кез келген квадрат форманы өзгеше емес сызықты түрлендіру көмегімен канондық түрге келтіруге болады.

Мысал. квадрат форманы канондық түрге келтіру керек.

Шешуі. Квадрат форманы былай көшіріп жазайық:

.

Сонда , , сызықты түрлендіруді алсақ, квадраттық форма мынадай түрге келеді:

Квадраттық форманы канондық түріге әртүрлі сызықты түрлендіру көмегімен келтіруге болатындықтан, оның канондық түрі бірмәнді анықталмаған. Бірақ түрлі жолмен алынған бір форманың канондық түрлерінің ортақ қасиеттері болады: