1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болады.

2. п өлшемді векторлық кеңістіктің әр бір векторы базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады және бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер - кеңістіктің базисі болса, онда кез келген x R векторы жалғыз түрде былай жазылады:

.

Демек базисінде х векторы сандарымен жалғыз түрде анықталады. сандар х векторының осы базистегі координаталары деп аталады.

Мысал. x=(1;3;0), y=(-1;2;1), z=(1;-1;2) векторлары базис құра ма? Егер құрса u=(2;0;1) векторын (x,y,z) базисі бойынша жікте (яғни, u векторын x, y, z векторларының сызықты комбинациясы арқылы жазу керек).

Шешуі. Бірінші тұжырым бойынша x, y, z векторлары базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болуы керек:

Демек, x, y, z векторлары базис құрады екен.

Екінші тұжырым бойынша u векторы (x,y,z) базисте жіктеледі және ол жіктелу жалғыз болады:

.

x, y, z, u векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық:

+ + =

Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:

Осы жүйені шешіп u векторының (x, y, z) базисіндегі ( , , ) координаталарын табамыз. Үш белгісізді үш теңдеуден тұрған жүйені жүйе шешудің кез келген әдісімен шешуге болады. Сонда мынадай жалғыз шешім аламыз:

, , .

Сонымен, .

Евклид кеңістігі

R векторлық кеңістігігінде векторды санға көбейту және екі векторды қосу амалымен, тағы да өлшем және базис ұғымымен таныстық. Енді вектор ұзындығын және екі вектор арасындағы бұрышты өлшеуге мүмкіндік беретін жаңа ұғым енгіземіз.

Анықтама. және векторларының скаляр көбейтіндісі деп мынадай санды айтамыз:

Скаляр көбейтудің қасиеттері:

1. (x,y)=(y,x);

2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z);

3. ( x,y)= (x,y);

4. егер х нолдік емес вектор болса, онда (x,y)>0, ал х нолдік вектор болса, онда (x,y)=0;

Анықтама. Осы төрт қасиетті қанағаттандыратын векторларды скаляр көбейту амалы енгізілген векторлық кеңістік евклид кеңістігі деп аталады.

Евклид кеңістігіндегі х векторының ұзындығы(нормасы) деп мынадай шаманы айтамыз:

х және у векторларының арасындағы бұрыш мынадай теңдікпен анықталады:

,

мұндағы .

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі нолге тең болса ол векторлар ортогональ болады.

п өлшемді евклид кеңістігінің векторлары қос-қостан ортогональ және әр вектордың ұзындығы бірге тең болса, ол векторлар ортонормаль базис құрады.

Сызықты түрлендіру. Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторы

п өлшемді R сызықты кеңістік қарастырайық.

Анықтама. R сызықты кеңістігінің әрбір x R векторына қандай да бір ереже (заң) бойынша Ax R вектор сәйкес қойылса R сызықты кеңістігінде А түрлендіруі берілген деп атайды. Кез келген x, y векторы мен саны үшін

A(x+y)=Ax+Ay, A( x)= Ax

теңдіктері орындалса А түрлендіруі сызықты түрлендіру болады.

Сызықты түрлендіру кез келген х векторды өзіне түрлендірсе, онда ол тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең түрлендіруді Е әрпімен белгілейді. Сонымен,

Ех=х.

Базисі болатын R сызықты кеңістікте А сызықты түрлендіру берілсін. векторлары осы кеңістікте болатындықтан оларды базис бойынша жіктеп жазуға болады:

векторларының базистегі координаталарынан мынадай матрица құрайық:

.

Осы А матрица сызықты түрлендіру матрицасы деп аталады.

R кеңістігінің қандай да бір векторын қарастырайық. Сызықты түрлендіру нәтижесінде пайда болған Ах векторы да осы кеңістікте болғандықтан, оның базистегі жіктелуі мынадай болсын:

.

Ах векторының координаталары х векторының координаталары арқылы былайша өрнектеледі:

(2)

Осы n теңдеуді базистегі сызықты түрлендіру деуге болады. Бұл түрлендіру формуласындағы коэффициенттер А матрицасының жолдарының элементтері, олай болса (2) теңдікті матрицалық түрде де жазып көрсетуге болады:

=А (3)

Мысалдар қарастырайық. 1. п өлшемді кеңістіктегі Е тепе-тең түрлендіру матрицасын табу керек.

Шешуі. Тепе-тең түрлендіру базистік векторларды өзгертпейді: , яғни оның базис бойынша жіктелуі мынадай болады:

Енді сызықты түрлендіру матрицасын жазуға болады:

.

Демек, тепе-тең түрлендіру матрицасы бірлік матрица болады екен.

2. Үш өлшемді кеңістіктегі ( ) базисте А сызықты түрлендіруі мынадай матрицамен берілген: . Осы кеңістіктегі векторына жасалған Ах сызықты түрлендіруді табу керек.

Шешуі. (3) формуланы қолданайық:

Ax= = = .

Сонымен, .

Сызықты түрлендіруге қолданылатын амалдарды қарастырайық.

1. А және В сызықты түрлендірулер қосындысы деп мынадай

(А+В)х=Ах+Вх

теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.

2. А сызықты түрлендіруі мен тұрақты санының көбейтіндісі деп мынадай

( А)х= (Ах)

теңдеумен анықталатын А сызықты түрлендіруді айтады.

3. А және В сызықты түрлендірулер көбейтіндісі деп мынадай

(АВ)х=А(Вх)

теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.

Егер А түрлендіруі үшін мынадай

ВА=Е, АС=Е

теңдіктер орындалатындай В және С сызықты түрлендірулері табылатын болса, онда В=С болады. Бұл жағдайда В=С=А^-1 деп белгілейді де А^-1 сызықты түрлендіруді А түрлендіруіне кері түрлендіру деп атайды. Сонымен,

А^-1 А= АА^-1=Е.

Егер сызықты түрлендіру матрицасының анықтауышы нолден өзгеше болса, онда А сызықты түрлендіруді өзгеше емес сызықты түрлендіру дейді. Әрбір өзгеше емес сызықты түрлендірудің жалғыз кері түрлендіруі бар болады. Ол түрлендіру матрицасы берілген түрлендіру матрицасыңың кері матрицасы болады.

Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторы ұғымдарымен танысайық. n өлшемді R кеңістік берілсін.

Анықтама. Нолдік емес х векторы үшін мынадай

Ax= x (4)

теңдік орындалатындай қандай да бір нақты саны табылса х векторы А сызықты түрлендіруінің өзіндік векторы деп аталады.

саны А түрлендіруінің х векторына сәйкес сипаттамалық саны деп аталады.

Анықтамадан өзіндік вектор А сызықты түрлендіру нәтижесінде өзіне колинеар векторға түрленетіні көрініп тұр. Ал өзіндік емес векторлар түрлендіруі күрделі болады, сондықтан алгебра мен оның қолдануларында өзіндік векторларды қолдану тиімді және ыңғайлы болады.

(4) теңдеуді матрицалық түрде жазсақ:

AХ= Х, (5)

мұндағы Х - х вектордың координаталарынан тұратын бағана вектор. Теңдеуді ашып жазайық:

Теңдеулердің оң жағында нолдер болатындай етіп көшіріп жазайық,

,

матрицалық жазылуы:

(A- Е)Х=0.

Алынған біртекті теңдеулер жүйесінің 0=(0, 0, …, 0) нолдік шешімі әруақытта бар. Нолдік емес шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нолге тең болуы қажетті және жеткілікті:

. (6)

анықтауыш қатысты n–дәрежелі көпмүше. Осы көпмүшені А сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшесі деп, ал (6) теңдеуді сипаттамалық теңдеуі деп атайды.

Мынадай маңызды қасиеттер бар: