1. Квадраттық форманың оң (теріс) коэффициентті қосылғыштар саны сызықты түрлендіруге тәуелсіз тұрақты болып қалады.

2. Квадраттық форма матрицасының рангісі оны канондық түрге келтіргеннен кейінгі нолден өзгеше коэффициенттер санына тең, және сызықты түрлендіру кезінде өзгермейді.

Анықтама. квадраттық форма оң (теріс) анықталған деп аталады, егер айнымалылардың кез келген, ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болатын, мәнінде

>0 ( <0)

болса.

Мысалы, квадраттық форма оң анықталған, ал квадраттық форма теріс анықталған

Квадраттық форманың оң терістігін анықтайтын мынадай теоремалар бар.

Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған болуы үшін, оның матрицасының сипаттамалық сандары оң (теріс) болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған болуы үшін, оның матрицасының бас минорлары оң (теріс) болуы қажетті және жеткілікті.

ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР

• Cызықты тәуелді вектолар деп қандай векторларды айтамыз?

• Векторлық кеңістіктің өлшемі мен базисі деп нені айтамыз?

• Сызықты түрлендіру деп нені айтамыз?

• Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторын қалай табады?

ТӨРТІНШІ ЛЕКЦИЯ

АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері

1. Екі нүкте ара қашықтығы. Жазықтықта және екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте ара қашықтығын, немесе АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді:

.

2. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Жазықтықта және екі нүкте берілсін. АВ кесіндісін АМ:МВ= болатындай қатынаспен бөлетін М(х,у) нүктесінің координаталары мынадай формуламен есептелінеді:

, .

Дербес жағдайда, АВ кесіндісін тең екіге бөлу керек болса, яғни =1:1=1, формула былай түрленеді:

, .

3. Үшбұрыш ауданы. Жазықтықта төбелері , , болатын үшбұрыш ауданы мынадай формуламен есептелінеді:

.

Жазықтықтағы сызық теңдеуі

Тік бұрышты координат жүйесінде, қандай да бір сызық берілсін.

x және у айнымалыларды байланыстыратын мынадай

F(x, y)=0 (1)

теңдеу қарастырайық.

Теңдеулерге мысал келтірсек:

x - 5y – 2 = 0, x²+y² – 16 = 0.

Аналитикалық геометрияның ең басты ұғымы сызық теңдеуі болып табылады.

Анықтама. Егер сызық бойында жатқан кез келген нүкте координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырып, одан тыс жатқан бірде-бір нүкте оны қанағаттандырмаса, онда (1) теңдеу берілген сызықтың теңдеуі деп аталады.

Суретте нүктесі сызық бойында жатқандықтан, оның координаталары (1) теңдеуді тепе теңдікке айналдырады

,

ал нүктесі сызықтан тысқары жатқандықтан, оның координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырмайды

.

Сызық теңдеуі ұғымы геометриялық есептерді алгебралық тәсілдермен шығаруға мүмкіндік береді. Мысалы, x-y-2=0, x²+y²-16=0 теңдеулерімен анықталатын сызықтардың қилысу нүктесін табу, осы теңдеулерден тұратын жүйені шешуге, яғни алгебралық есепті шешуге келтіріледі.

Түзудің түрлі теңдеулері

Жазықтықтағы түзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нүктесінде қиып, Ох осімен (0< < ) бұрыш жасасын. Түзу бойынан қандай да бір М(х,у) нүкте алайық. Түзудің Ох осімен жасаған бұрышының тангенсін ВМК үшбұрышынан табамыз:

(1)

деп белгілеп, түзудің бұрыштық коэффициенті деп атау қабылданған. Сонымен:

.

Осы қатынастан у-ті тапсақ:

y=kx+b (2)

Түзу бойында жатқан кез келген нүктенің координатасы (2) теңдеуді қанағаттандырады да түзуден тыс жатқан нүктелер бұл теңдеуді қанағаттандырмайды.

(2) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады.

Дербес жағдайларын қарастырайық.

1. Түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуіндегі b=0 болсын. Онда түзу теңдеуі y=kx түрге келеді де, түзу координат басынан өтеді (2-сурет)

2. Егер болса, онда болады да, түзу теңдеуі y=b түрге келеді де, түзу Ох осіне параллель болады (3-сурет). Ал Ох осінің теңдеуі y=0 болады.

3. Егер болса, онда мәні болмайды, түзу Ох осіне перпендикуляр болады. Айталық түзу Ох осінен а тең кесінді қиып өтеді, сонда түзу теңдеуі х=а түрде болады (4-сурет). Ал Оу осінің теңдеуі х=0 болады.

Мынадай теорема айтуға болады.

Теорема. Тік бұрышты координаталар жүйесінде кез келген түзу бірінші ретті теңдеумен беріледі

Ах+Ву+С=0 (3)

Және керісінше, (3) теңдеу (А, В, С коэффициенттердің бәрі бір мезгілде нолге тең болмаған кезде) тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзуді анықтайды.

(3) теңдеуді әдетте түзудің жалпы теңдеуі деп атайды.

Берілген бағыт және берілген нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі. Көп жағдайда түзу теңдеуін оның бойында жатқан белгілі нүкте мен k бұрыштық коэффициенті арқылы жазу керек болады (5-сурет).

Түзу теңдеуін (2) түрінде жазайық, y=kx+b, мұндағы b әзірше белгісіз. Түзу нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y₁=kx₁+b. Осы теңдіктен белгісіз b табылады, b = y₁ - kx_1. Табылған мәнді теңдеудегі орнына қойып, берілген бағыт және берілген нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:

y =k(x – x₁)+ y₁ (4)

Егер (4) теңдеудегі k ерікті мән қабылдаса, онда теңдеу нүктесі арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін анықтайды (6-сурет).

Берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі. және нүктелері берілсін. АВ түзуінің теңдеуін жазу үшін А нүктесі арқылы өткен түзулер шоғының теңдеуін жазамыз:

y =k(x – x₁)+ y_1.

АВ түзуі нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y₂ =k(x₂ – x₁)+ y_1. Осы теңдіктен белгісіз k табылады, . Табылған мәнді теңдеудегі орнына қойып, берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:

(5)

Т үзудің “кесіндідегі” теңдеуі. Түзу Ох осінен а-ға тең, Оу осінен b-ға тең кесінді қиып өтсін (8-сурет). Түзу А(а;0) және В(0;b) нүктелері арқылы өтеді деп, (5) теңдеуді қолданайық. Сонда түзу теңдеуі мынадай түрде жазылады:

Енді ықшамдасақ, түзудің “кесіндідегі” теңдеуін аламыз:

(6)

Екі түзу арасындағы бұрыш. Екі түзу берілсін: y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂. Мұндағы , . Екі түзу арасындағы бұрышты табу керек (9-сурет).

С уреттен көрініп тұрғандай . Осыдан

немесе

(7)

(7) формула берілген екі түзу арасындағы бұрышты анықтайды. Ал екінші бұрыш тең болады.

Екі түзудің параллелдік және перпендикулярлық шарты. Егер екі түзу параллель болса, онда =0 болады да tg =0. Бұл жағдайда (7) формула мынадай түрге келеді: k₂ – k₁ = 0. Осыдан екі түзудің параллелдік шарты шығады:

k₂ = k₁ , (8)

яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері тең болса, ол түзулер параллель болады және керісінше.

Егер екі түзу перпендикуляр болса, онда болады да, , . Осыдан екі түзудің перпендикулярлық шарты шығады:

k₂ = , (9)

яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері мәндері бойынша кері, таңбалары бойынша қарама-қарсы болса, ол түзулер перпендикуляр болады және керісінше.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзу Ах+Ву+С=0 және түзуден тыс жатқан нүкте М(х₀,у₀) берілсін (10-сурет).

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық деп нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр ұзындығын айтамыз. Суретте ол d=MN. Осы ара қашықтықты табу үшін: а) Берілген түзуге перпендикуляр және М(х₀,у₀) нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуін тауып аламыз; б) Берілген түзу мен MN түзулерінің теңдеуін жүйе етіп шешіп, олардың қилысу нүктесі N табамыз; в) екі нүктенің ара қашықтығын есептейтін формула көмегімен d=MN ара қашықтықты есептейміз. Нәтижесінде мынадай формула алынады:

(10)

Мысал. Төбелері А(1;1), В(7;4), С(4;5) болатын үшбұрыштың

а) АВ қабырғасының ұзындығын;

б) АВ және АС түзулерінің теңдеуін;

в) А ішкі бұрышын;

г) С төбесінен жүргізілген биіктік пен медиана теңдеулерін;

д

) С төбесінен АВ қабырғасына дейінгі қашықтықты табу керек.

Ш ешуі. а) Кесінді ұзындығын есептейтін формула бойынша АВ қабырғасының ұзындығын есептейміз:

б) АВ түзуінің теңдеуін формуланы пайдаланып табамыз. Мұндағы және нүктелер А және В нүктелерінің координаталары болады: , ықшамдасақ,

теңдеуін аламыз.

Дәл осы жолмен АС түзуінің теңдеуін аламыз: , осыдан .

в) А ішкі бұрышын есептеу үшін (7) формуланы пайдаланамыз. Ол үшін АВ және АС түзулерінің коэффициенттерін алдыңғы пункттегі теңдеулерінен аламыз да,

, , (7) формулаға қоямыз:

,

осыдан .

г) С төбесінен жүргізілген биіктікті СD дейік. СD теңдеуін жазу үшін y =k(x – x₁)+ y₁ теңдеуді пайдаланамыз. нүктенің орнына С нүктесінің координатасын қойсақ осы нүкте арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін аламыз: y =k(x -4)+ 5. Осы шоқтан АВ түзуіне перпендикуляр түзу теңдеуін таңдап алу үшін СD биіктіктің АВ түзуге перпендикуляр болатынын ескеріп табылады да, түзулер шоғы теңдеуіндегі орнына қойылады: y =-2(x -4)+ 5 _. Ықшамдап СD биіктік теңдеуін аламыз,

y =-2x+13.

СЕ медиана теңдеулерін жазу үшін АВ кесіндісінің ортасында жатқан Е нүктесінің координаталарын табамыз:

, , Е=(4; 2,5).

Екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін пайдаланып медиана теңдеуін аламыз:

,

осыдан х=4 СЕ теңдеуі болады.

д) С төбесінен АВ қабырғасына дейінгі қашықтықты табу үшін, АВ теңдеуін

x - 2y + 1 = 0

түрінде жазып алып, (10) формуланы пайдаланамыз:

.