3. Правило обчислень з наперед заданою точністю
В усіх раніше розглянутих правилах підрахунку цифр було встановлено, яку точність результату можна отримати, маючи вихідні дані з деякою точністю.
Не менш цікавою, особливо для фізики, є зворотна задача: з якою точністю потрібно взяти вихідні дані, щоб отримати результат з наперед заданою точністю? Відповідь на це питання дає наступне правило.
Правило 7. Якщо кінцевий результат потрібно отримати з деякою наперед заданою точністю, а дані можна брати з довільною точністю, то в цих даних слід брати по стільки цифр, скільки потрібно для отримання результату з однією зайвою цифрою. В кінцевому результаті ця зайва цифра округлюється.
Іншими словами, щоб при додаванні і відніманні наближених значень чисел отримати результат з точністю до одиниці деякого розряду, потрібно компоненти цих дій взяти з точністю на один розряд більше.
Що стосується інших дій, то для отримання результату з n значущими цифрами компоненти потрібно взяти з n+1 значущою цифрою. В кінцевому результаті зайву цифру відкидають за правилом заокруглення.
Розглянемо застосування правила 7 на прикладі.
Приклад.
Обчислити
суму чисел
з точністю до сотих.
Щоб отримати в сумі два десяткових знаки, беремо в кожному доданку три знаки після коми
.
Легко перевірити, що, взявши доданки з двома десятковими знаками, ми отримаємо інший, менш точний результат:
4. Наближені обчислення зі значеннями тригонометричних функцій
Кількість значущих цифр в значені тригонометричних функцій кута залежить від того, з якою точністю заданий кут. В процесі вимірювання кута його значення може бути отримане з точністю до градуса або хвилини, секунди або іще точніше . Однак в шкільному курсі фізики значення кута зазвичай задано з точністю до градуса. Тому при розв’язуванні задач, в яких застосовуються тригонометричні функції, можна користуватись наступним правилам підрахунку цифр.
Правило 8. Якщо значення кута задано з точністю до градуса, то в значенні тригонометричної функції слід зберігати дві значущі цифри.
Наприклад:
,
,
,
,
.
Розглянемо приклад застосування правила 8 у фізичних задачах.
Задача 1.
Обчисліть роботу сили 1 Н (точно) на шляху 24,98 м, якщо кут між напрямком сили і напрямком переміщення рівний 550.
Розв’язування.
За
умовою F=1 Н (точно), в числі s=24,98 м чотири
значущі цифри, а за правилом 8, застосовуючи
запасну цифру, можна записати:
.
Тоді A=1.24,98.0,574.
Так,
як число 0,574 має тільки дві значущі
цифри, можна для спрощення обчислень
попередньо заокруглити число 24,98 до
трьох значущих цифр:
Дж.
В фізичних задачах буває необхідно знайти значення кута за відомим значенням тригонометричної функції. Найбільш точно значення кута визначається за тангенсом або котангенсом.
Сформулюємо правило підрахунку цифр, що дозволяє знаходити значення кута з точністю до градуса. В більшості випадків це правило виявляється достатнім для розв’язування задач з шкільного курсу фізики.
Правило 9. Якщо значення тригонометричної функції має не менше двох правильних значущих цифр, то значення відповідного кута записують з точністю до градуса.
Приклади.
-
sinα=0,12
α 70
cosβ=0,084
β 850
tgγ=1,8
γ 610
tgφ=0,716
φ 360
Розглянемо задачу, в якій застосовуються правила 8 і 9.
Задача 2.
Знайдіть кут заломлення сонячних променів, які падають на поверхню води під кутом 650 до горизонту.
Розв’язування.
Значення показника заломлення береться з трьома значущими цифрами (правило 6): n=1,33. Тому:
.
В
значенні sin 250
0,423
остання цифра запасна. Результат
є проміжним тому запасну цифру поки що
зберігаємо. Так, як
має дві значущі цифри, то у відповідності
з правилом 9 значення кута беремо з
таблиці з точністю до градуса:
.
Правило 8 застосовується в тому випадку, коли значення кута задано з точністю до градуса. У випадку більшої точності задання кута потрібно мати на увазі таке доповнення до правила 8:
Доповнення. В тих випадках, коли значення кута задано з точністю до десятків хвилин, в значенні тригонометричної функції потрібно зберігати на одну або дві значущі цифри більше ніж рекомендується правилом 8.
Приклад.
,
,
,
.
При обчисленні із значеннями тригонометричних функцій можна користуватись і методом меж. Застосування цього методу ґрунтується на, тому, що за межами зміни значення кута легко знайти нижню і верхню межі значень кожної тригонометричної функції.