Задание

Наработка элемента тормозной системы автомобиля до отказа подчиняется нормальному закону распределения с параметрами  = 193,9 тыс. км и  = 54 тыс. км. Определить количественные характеристики надежности данного элемента f(t), P(t) и (t) в течение 140 тыс. км, через каждые 35 тыс. км, при условии, что плановые ремонты тормозной системы автомобиля не проводились. Построить графические зависимости, сделать вывод.

Задания для самоконтроля

1. Периоды жизненного цикла технической системы. Законы распределения времени между отказами.

2. Определение и графические зависимости количественных характеристик надежности при экспоненциальном законе распределения.

3. Определение и графические зависимости количественных характеристик надежности при нормальном законе распределения.

4. Определение и графические зависимости количественных характеристик надежности при распределении Вейбулла.

5. Понятие потока отказов.

Литература

1. Половко А.М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964.

2. Керимов Ф.Ю. Математическая теория надежности /Уч. пособие. М.: МАДИ, 1979.

3. Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация, техническое обслуживание и ремонт металлургических машин. Магнитогорск: Издание МГТУ, 1998.

Расчетно-графическая работа № 4 «Расчет надежности технической системы при различных соединениях элементов» Теоретическая часть

Надежность технической системы зависит от способа соединения (характера взаимодействия) составляющих ее элементов. Если элементы взаимодействуют так, что отказ любого из них приводит к отказу системы, то соединение элементов называют последовательным (рис. 4.1.а). Безотказная работа системы есть случайное событие, равное пересечению независимых событий - безотказной работы каждого из элементов (дизъюнкция событий). Вероятность безотказной работы системы, элементы в которой в смысле надежности соединены последовательно определяется по формуле

(4.1)

где - вероятность безотказной работы го элемента;

- общее число элементов.

Если P₁(t) = P₂(t) = ... = P_n(t), то вместо (4.1) вероятность безотказной работы будет определяться следующим образом:

(4.2)

Вероятность отказа такой системы равна:

(4.3)

Формулы (4.1 - 4.3) иллюстрируют хорошо известный факт: если элементы взаимодействуют по схеме последовательного соединения, то надежность системы ниже надежности любого из ее элементов, при этом, с увеличением числа элементов надежность системы снижается. Если число параллельно соединенных элементов в системе высоко, то практически невозможно образовать высоконадежную систему. Например, при n=1000 и Р_i (t) = 0,99, вероятность безотказной работы системы будет менее 10^-4.

Рис. 4.1 Схемы соединения элементов

Один из способов повышения надежности - введение в систему дополнительных элементов или подсистем сверх количества, минимально необходимого для выполнения заданных функций. Этот метод называют резервированием.

Схема простейшего способа резервирования представлена на рис. 4.1.б. Вместо одного элемента, достаточного для выполнения функций, в систему введено n элементов. Отказы элементов - независимые события, а отказ системы происходит лишь в том случае, когда откажут все n элементов (конъюнкция событий). Данное соединение называют параллельным. Вероятность отказа системы в которой элементы в смысле надежности соединены параллельно определяется из выражения:

(4.4)

Отсюда вероятность безотказной работы такой системы будет определяться по формуле

(4.5)

В случае смешанного соединения элементов схема поэтапно упрощается до последовательного или параллельного соединения.

Необходимо отметить, что формулы (4.4, 4.5) работают в случае, когда для нормальной работы технической системы необходима исправная работа хотя бы одного, составляющего ее элемента, имеющего параллельное в смысле надежности соединение с другими элементами. Вероятность безотказной работы такой технической системы может быть определена также путем перебора всех возможных комбинаций отказов элементов. Например, если система состоит из трех одинаковых элементов, а для достаточной ее работы необходимо, чтобы было исправно не менее одного элемента, вероятность безотказной работы такой системы будет определяться посредством разложения бинома:

(4.6)

где P - вероятность безотказной работы составляющего систему элемента;

Q - вероятность отказа элемента системы.

Надежность системы определяется выражением:

(4.7)

Если элементы неодинаковы и имеют различную надежность, то при тех же условиях формула определения примет вид:

(4.8)

В случае, когда для нормальной работы технической системы необходима исправная работа более одного, составляющего ее элемента, число комбинаций исправной работы будет меньше, и формула (4.7) примет вид:

(4.9)

Очевидно, что с увеличением минимально необходимого для нормальной работы системы числа исправных элементов, надежность ее работы будет ниже. С увеличением числа элементов формула для определения безотказной работы системы усложнится.