- •Вопросы по математике
- •II семестр Вопросы к зкзамену по математике (сжд)
- •Раздел 1. Интегральное исчисление функции одной переменной.
- •Раздел 2. Функции нескольких переменных.
- •Раздел 3. Дифференциальные уравнения и системы.
- •Раздел 4. Кратные и криволинейные интегралы.
- •Вопросы к экзамену по математике для студентов (3 семестр) Элементы функционального анализа Числовые и функциональные ряды
- •Уравнения математической физики
- •Теория функций комплексного переменного
- •Операционное исчисление
- •Основы вариционного исчисления
Вопросы к экзамену по математике для студентов (3 семестр) Элементы функционального анализа Числовые и функциональные ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.
Достаточные признаки сходимости.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
Свойства абсолютно сходящихся рядов. Оценка погрешности, допущенной при замене ряда ее частичной суммой.
Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения.
Равномерная сходимость. Признак Вейерштраса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.
Приложения степенных рядов.
Тригонометрические ряды Фурье для функций с Т=2p и Т=2l.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Разложение непериодических функций в ряд Фурье.
Уравнения математической физики
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
Приведение к каноническому виду линейных уравнений в частных производных второго порядка.
Постановка основных задач: задача Коши, краевые и смешанные задачи.
Метод Фурье решения смешанных задач для волнового уравнения.
Вывод уравнения колебания струны.
Вывод уравнения теплопроводности.
Решение методом Фурье (методом разделения переменных) задачу о распространении тепла в ограниченном стержне.
Теория функций комплексного переменного
Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность.
Элементарные функции.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.
Интеграл по комплексному переменному.
Теорема Коши.
Интегральная формула Коши. Формула для производных функции.
Изолированные особые точки. Их классификация. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом.
Вычеты. Их вычисление. Основная теорема о вычетах.
Вычет относительно полюса первого порядка. Вычет относительно кратного полюса.
Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Операционное исчисление
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Изображения функций: sint, cost, eat
Изображения функций: sinwt, coswt, shwt, chwt.
Свойства преобразования Лапласа. Теорема линейности, теорема подобия.
Свойства преобразования Лапласа: теорема затухания. Теорема запаздывания.
Дифференцирование по параметру оригинала и изображения. Изображение степеней t.
Дифференцирование оригинала.
Интегрирование оригинала от 0 до t.
Дифференцирование и интегрирование изображения.
Понятие свертки. Свойства.
Умножение изображений.
Умножение оригиналов. Теорема обращения.
Решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.
Основы вариционного исчисления
Вариационное исчисление. Функционал. Основные понятия (вариация аргумента, непрерывность).
Основные понятия вариационного исчисления: линейность, приращение функционала.
Экстремум. Слабый и сильный.
Уравнение Эйлера. Основная лемма вариационного исчисления.