3.5. Основные уравнения прямого скачка уплотнения

Схема прямого скачка представлена на рис.3.8. Для получения зависимостей, связывающих в изоинтропийном потоке параметры за скачком с параметрами перед скачком, воспользуемся уравнениями

- энергии и его следствием,

,

- расхода

- неразрывности

- количества движения

,

- силы, возникающей в скачке уплотнения,

где F – площадь скачка, очевидно, что

Рис. 3.8. Схема прямого скачка уплотнения.

В скачке возникает единственная сила, создаваемая разницей давлений до и за скачком, следовательно . Запишем соотношения, вытекающие из уравнений силы, количества движения и расхода

Используя уравнение неразрывности, получаем зависимости между параметрами скачка в виде

, (3.14)

. (3.15)

Эта система уравнений широко используется при аналитических выкладках, но не даёт прямого решения задачи, т.к. содержит три неизвестных параметра

Воспользуемся уравнением состояния, записав в нём температуру с помощью формулы (2.7.1)

.

Используя эту зависимость, разность давлений в скачке представим уравнением

,

заменяя

,

уравнению разности давлений можно придать вид

.

Воспользовавшись уравнением (3.4), после преобразований получаем

,

сопоставляя с зависимостью (3.15), получаем уравнение, которое называют основным уравнением прямого скачка уплотнения

Это уравнение называют также формулой Прандтля.

Из основного уравнения прямого скачка (3.16) следуют важные выводы –

- при - за прямым скачком уплотнения поток дозвуковой;

- при - в звуковом потоке скачка параметров не существует;

- при - такое следствие соответствует понижению давления в потоке, а

рассматривается процесс повышения давления; это следствие свидетельствует только

о том, что в дозвуковом потоке скачки уплотнения возникать не могут.

3.6. Параметры потока газа за прямым скачком уплотнения

Напомним, что энтальпия и температура заторможенного потока и критическая скорость до и за скачком одинаковы

, .

Наиболее простое решение даёт использование газодинамических функций. Приведённая скорость за скачком определяется по основному уравнению скачка (3.16)

,

по которой находятся все остальные г.д.ф. за скачком .

Далее расчёт параметров за скачком может производиться в следующей последовательности –

- скорость потока

- плотность газа

,

- плотность заторможенного газа

,

- температура газа

- давление статического и заторможенного газа определяется по формулам, вытекающим из равенства расходов

Интенсивность прямого скачка, как видно из формулы

, (3.17)

зависит для данного газа от числа Маха невозмущенного потока . Эту зависимость иллюстрируют данные табл. 3.2 и график на рис. 3.9.

Интенсивность прямого скачка.

Таблица 3.2

	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	10
	k = 1,4
	1,0	2,3(8)	4,(3)	6,83	9,(8)	110,9
	k = 1,25
	1,0	2,391	4,337	6,839	9,897	111,089

Рис. 3.9. Зависимость интенсивности прямого

скачка от .

Приближённая формула для оценки интенсивности прямого скачка

даёт ошибки, не превышающие 1% во всем диапазоне реальных значений k.

Замена в приведённых здесь формулах газодинамических функций их зависимостями от параметров потока, позволяет производить расчёты в абсолютных значениях параметров.