Очередная шпора по физике )

№1. Эл/ст поле в вакууме. З-н Кулона. Пр-п суперпозиции д/Е. Поле с-мы точ. зарядов.

В природе сущ. 2 вида заряд: (+) и (-). Точечн заряд—заряженный объект, размерами кот м/пренебречь. Д/точеч. заряд справедлив з-н Кулона: F=k*|q₁|*|q₂|/r², В СГС: k=1

If у нас есть заряд q и на него действует сила эл/ст природы, тгд мы говорим, что заряд попал в эл/поле. F=q*E. E — напряж-ть эл. поля (сила, действ-я на единичный неподвижный пробный заряд, н-ся напряж-тью эл. поля) E_A=k*q*r/r³ if q>0, то E↑↑r

Пр-п суперпозиции: Напряж-ть эл/поля E неск неподвижных зарядов q1, q2... =на в-орной сумме напряж-тей полей, кот создавал бы кажд из этих зарядов в отсут остальных, т.е. E=∑q_i/(r_i)³*r_i Где r_i — радиус-в-ор, проведённый из заряда q_i в т наблюдения. Д/наглядного изобр-я эл/полей исп-ся силовые линии (линия, напр-е касательной к кот в кажд т, через кот она проходит, совпадает с напр-ем в-ра E в той же т). Эл/силовые линии нач-ся от положит зарядов и оканч-ся на отриц. В пр-ве, свободном от эл/зарядов, силовые линии там гуще, где поле E сильнее, и реже там, где оно слабее.

№2. Поток в-ра Е. Теор Гаусса д/Е.

Инт-л Ф=∫E dS н-ют потоком в-ра напряж-ти эл/поля Е. Теор Гаусса опр-т поток в-ра напряж-ти эл/поля через произв замк пов-ть S. За положит нормаль к пов. S примем внеш нормаль, те нормаль напр-ю наружу. Ф=∫E_ndS≈∑E_i cosα_i ∆S_i Матем поясн: ∆Ω=∆S/r²≈∆S_┴/r², справедливо при малых углах. Возьмём Точечн заряд. ∆Фi=kq/(r_i)²* cosα_i ∆S_i=kq/(r_i)²*∆S_i┴=kq ∆Ω_i

Ф=∑E_i cosα_i ∆Ω_i =kq∑∆Ω_i=kq*4π

If q<0, то никаких минусов писать не надо (ф-ла всё равно правильная). If зар. лежит во внеш. пр-ве по отн-ю к пов-ти S, то его поток =ен 0. В результате получ-ся следующее фундаментальное соотн-е: Ф≡∫(EdS)=4πQ Наз-ое эл/ст теор Гаусса. Здесь Q — алгебр сумма всех зарядов, окружённых замкнутой пов-тью S.

№3. Циркуляция в-ра Е. Пот-л.

Циркуляция в-ра Е н-ся инт-л ∫ Е_l dl. Док-м, что он =ен 0. Док-во: Возьмём Точечн заряд q>0. E_ldl=q/r²*dlcosα

Из этого выраж-я => т-ма о циркуляции: r₁=r₂ инт-л ∫ Е_l dl=0

В-орное поле Е н-ся пот-льным, if циркуляция в-ра Е по люб замк контуру =на 0.

Д/пот-льных полей м/ввести понятие пот-ла, или точнее, разности пот-лов. Разностью пот-лов φ₁–φ₂ между тт 1 и 2 н-ся работа, соверш-ая силами поля при перемещении единичного полож заряда по произв пути из т 1 в т 2.

q(φ₁–φ₂) =q*(q₁/r₁- q₁/r₂), φ₁= q₁/r₁+const, φ₂= q₁/r₂+const. (чаще сonst= 0, на бск φ=0

Пр-п суп. позиции д/пот-ла (след. из пр. суп. д/Е)

А_эл.=q(φ_A–φ_B)= q(_φ1A–φ_1B)+ q(φ_2A–φ_2B)+…

φ_A= φ_1A+φ_2A+φ_3A+…, φ_B= φ_1B+φ_2B+φ_3B+…

№4. Эквипот-ые пов-ти. Связь напряж-ти эл/ст поля и пот-ла.

Связь E и φ. => , , ,т.е. , где (1)

Эквипот-ая пов-ть - такая пов-ть, на кот пот-л остается const. Он м/меняться только при переходе от одной эквипот-ой пов-ти к др. Возьмем на эквипот-ой пов-ти произв т О и введем лок с-му коорд с началом в этой т (рис.). Ось Z направим по нормали n к эквипот-ой пов-ти в стор возраст-я пот-ла φ. То же напр-е примем за положит напр-е нормали n. Коорд пл-ть XY совместится с касательной пл-тью к эквипот-ой пов-ти. Тгд в т О дφ/дх = дφ/ду=0. Кр того, k=n, дφ/дz ≡ дφ/дn. Ф-ла (1) → . Ф-я φ возрастает наиб быстро в напр-ии нормали n, поэт градиент ф-ии φ (х, у, z) есть в-ор, напр-ый в стор max возраст-я этой ф-ии, а его длина =на производной ф-ии φ в том же напр-ии. Это опр-е носит инвариантный хар-р, те никак не связано с выбором с-мы коорд.

В-ор E напр-н противоположно в-ору градиента пот-ла φ. Эл/силовые линии явл, то, линиями, вдоль кот пот-л φ изм-ся наиб быстро. Они нормальны к эквипот-льным пов-тям. Поэт эквипот-ые пов-ти м/служить д/наглядного изобр-я картины поля.

№ 5. Пров-ки в эл/ст поле.

1) В кажд т внутри пов-ти

2) .

=> Пров-ки в эл-ке представляют эквипот. объем, а пов-ть пров-ка явл-ся эквипот. пов-ю.

3) Эл/заряды сущ-ют (м/сущ-ть) только на пов-ти пров-ка

4) Сущ-ет связь между напр. эл/поля вблизи гран. пров-ка и плотн-ю зар. на пов-ти. Выберем сплюсн. парал-д, д/этой пов-ти:,где Q-заряд окруж. пов-ю инт-я.=> - напр. поля вблизи мет. в проекц. на нормаль. Проекция Е берется из мет. в вакуум. Поле в т. 1 созд. всеми зарядами, но выраж. только через те зар., кот. распол. поблизости.

5) Поле в полости т.е. поле внутри полости =0. Проверка:1)Т.к. то линий внутри полости быть не может, т.к. получится, что - разные 2) Сил. линии д/обрываться на минусе, но его нет. 3) Замкн. линий тоже нет.

№6 Теор о ед-ти р-я задач электростатики.

П: задано распр-е пров-ков и их полные заряды, тгд напряж-ть эл/поля в кажд т нах-ся единственным образом.

Док (от противного): П: возм/др распр-е зарядов на пров-ках: , след-но, возм/сущ-е 2-х различных в-оров Е в 1-ой т (Е=4πσ). Значит, и соотв им заряды –q₁, –q₂, –q₃, кот создают такое же поле, но противоп по напр-ю. Перераспределим заряд на пров-ках: В общем сл получим но тгд Проанализируем по картинкам: Во всех возм сл наруш-ся теор о циркуляции д/в-ра Е!

1)2)3)

№ 8 Связь между плотностью заряда на пов-ти пров-ка и полем вблизи него.

Рассм некот заряж-ю пов-ть S. Полупр-во по одну стор этой пов-ти обозначим индексом 1, а по другую – индексом 2. Пов-ая плотность заряда σ м/меняться вдоль пов-ти S произвольно. Возьмём бск малый цил, основания кот располож по разн стор от S. Высота цила д/б << л/размеров его оснований. П: площадь его оснований =на ∆S, тгд внутри цила нах-ся эл/заряд q=σ∙∆S. Сумма потоков в-ра Е через основания цила б/=на . Поток через бок пов-ть цила пренебрежимо мал. Тгд по теор Гаусса получаем , значит, . Получим: . Проецируя поля Е₁ и Е₂ на одну общую нормаль n, получим Е_2n—Е_1n=4πσ. То, при переходе через заряж-ю пов-ть нормальная составляющая в-ра Е претерпевает скачок, равный 4πσ. Происхождение скачка м/объяснить с др т зрения. Полное эл/поле в люб т пр-ва склад-ся из внутр поля Е_внутр, т.е. поля, создаваемого зарядами самой площадки ∆S, и внеш поля Е_внешн, т.е. поля, создаваемого всеми остальными зарядами. При пересечении площадки ∆S внеш поле меняется непрерывно. А площадку ∆S на бск малых расст-ях от себя м/рассм, как бск заряж-ю пл-ть. Создаваемое ею поле перпенд-но к площадке и =но 2πσ. Однако напр-я этого поля в 1-ой и во 2-ой областях различны. Т.о., получим (*). Итак, мы выяснили, что скачок терпит только внутреннее поле самой площадки, а т.к. внутреннее поле не имеет тангенциальной составляющей и внеш поле меняется непрерывно, то . Из ф-лы (*) также =>

№ 9. Р-е эл/ст задач методом эл/ст изобр-ий.

К изначально незаряж, бск слою металла поднif положит заряд на расст а от него. Тгд на пов-ти металлич слоя выступит неравномерно распр-ый заряд –q, с плотностью распр-я σ(x). Д/расчёта поля, вне металла заряд, индуц-ый на пов-ть металла, м/заменить мнимым зарядом q΄=-q, располож в толще металла на таком же расст-и а.

Рассм теперь поле только зарядов, индуц-ых на пов-ть металла. Выберим тт 1 и 2 вблизи пов-ти металла, но лежащие по разные стор от неё. В силу близости этих тт, тангенц составл-ая поля сохранится, а нормальная – изменяет своё напр-е, но не велич. Это => из пр-па суперпозиции. Получили с-му: . Это поле эквивалентно полю двух точеч зарядов, располож на одинак расст-и от плоск-и. Один заряд – тот, который поднif, а др – мнимый, нах-ся в толще металла. Такая замена н-ся методом изобр-ий.

№ 10. Кондр-ы.

Кондр-ы: представляют собой пластины, разнесённые на некот расст-е d, кот << размеров самих пластин. На кажд из них нах-ся заряд, кот и опр-т эл/поле между обкладками.

φ₁ > φ₂ φ_{1 -} φ₂ = U E ~ q → U ~ q. .

Примеры выч-я ёмкости конд-ров: 1) Плоский конд-р. σ=q/s. E=4πσ => n=Ed. E_n= 4πσ. U=∫E_ldl=Ed. C=q/(Ed)= S/(4πd) – СГС. С= ε₀S/d. 2) Сферич конд-р: E=q/r², φ₁-φ₂= = q(1/R₁-1/R₂). C=q/U= R₁R₂/(R₂-R₁)

Соед-е кондр-ов: 1) паралл. U₁= U₂=U, q= q₁+q₂. C=q/U= (q₁+q₂)/U= C₁+C₂ 2) послед. С=q/(U₁+U₂)= q/(q/C₁+q/C₂)= C₁C₂/(C₁+C₂), 1/C= 1/C₁+1/C₂+1/C₃...

№11. Энергия с-мы точеч зарядов. Энергия заряженного проводника и конд-ра. Плотность энергии эл/поля.

Энергия с-мы точ зарядов: П: точеч заряды q₁ и q₂ нах-ся в вакууме на бск расст друг от друга. Чтобы их сблизить до расст-я r₁₂, надо затратить работу (q₁q₂)/r₁₂. Пот-я энергия взаимод-я зарядов б/U=(q₁q₂)/r_12. Д/неск точеч зарядов: U=(1/2)∑∑ (q_iq_k)/r_ik (i≠k). Коэф-т ½ поставлен, тк при суммировании пот-я энергия кажд пары учитывается дважды. Ф-лу м/представить в виде: U=(1/2) ∑φ_iq_i где φ_i - пот-л в т нах-я i-го заряда, созд-ый всеми зарядами: φ_i=∑q_k /r_{ik .}

1. Энергия заряженного конд-ра: Энергия зар-го конд-ра опр-ся зарядами его обкладок и разностью пот-лов между ними. Б/переносить полож эл-во б.м. порциями dq с отриц обкладки на полож. Д/переноса dq необх совершать работу против эл/поля: δA_внеш=φdq где φ – мгновенное знач-е разности пот-лов между обкладками. Работа самого конд-ра б/такой же по велич, но противоп по знаку: δA=-φdq. Работа целиком пойдёт на увелич-е эл/энергии конд-ра W, т.е. dW= φdq=qdq/C, т.к. ёмкость остаётся пост, то инт-я получаем: W=q²/2C=1/2φq=1/2Cφ²

2. Энергия с-мы заряженных пров-ков: Рассм с-му неск тел произв формы с зарядами q₁, q₂, q₃,.. и пот-лами φ₁, φ₂, φ₃,.. Примем за начальное такое сост-е, в кот все тела не заряжены. Б/переносить эл-во из бск на эти тела б.м. порциями. Так же, как в случ конд-ра, найдём : W=∫∑φ_i’dq_i’ где сумм-е ведётся по всем телам. Штрихи означают, что эти величины переем-е, мен-ся в процессе зарядки. П: q_i и φ_i – заряд и пот-л i-го тела в конечном сост-и. Осуществим зарядку так, чтобы в люб мом времени перем-е заряды q_i’ б/пропорц их конечным знач-ям q_i : q_i’=k q_i где k – переем-я велич, одинак д/всех q_i . Во время зарядки k возраст от 0 до 1. Тк D=ξE : φ_i’=k φ_i . Очевидно: k – переем-я инт-я, и dq_i’= q_idk, и W=∑ φ_iq_i, выполнив инт-е, получим: W=1/2∑ φ_iq_i .

№12. Дипольный мом молек. В-ор поляризации.

∑q_n⁺=q₊=q>0 - в атоме (эл/нейтр с-ма), ∑q_n^-=q_-= -q>0

p - дипольный мом (не зав от выбора нач коорд)

p=∑q_nr_n=∑q_n⁺r_n ⁺ + ∑q_n^-r_n^-= q(r⁺ - r^-) где r⁺ - r^- = l - плечо диполя (пров-ся из ‘–‘ в ‘+’). p= ql.

P= (∑p_i)/(dV) - в-ор поляризации (p_i – дипольн мом-т i-ой молек), [P]= [E]_СГС

№ 13. Теор Гаусса д/в-ра P. P=∑p_i/∆V. Участок ∆S маленький так, что p одинак у всех молек. Возьмём призму на гр-це. N – число молек (диполей) в 1 куб см. P_n∆S= pNcosα∆S= q(lcosα∆S)N. P=Np. П: cosα>0. P_n∆S=-dq_связ. =-Q_связ.

№ 14. В-ор эл/инд-ии D. Теор Гаусса д/D. Влияние диэл-ка на эл/поле сводится к действию поляризационных зарядов. По теор Гаусса: ∫E_ndS=4π(q+q_пол). Поскольку q_пол =-∫P_ndS, то получаем ∫(E_n+4πP_n)dS=4πq.

Введём новый в-ор D=E+4πP, н-ый в-ором эл/индукции. Тгд ∫D_ndS=4πq. Это есть теор Гаусса д/в-ора D. В диф-ой ф-ме она выглядит так: DivD=4πρ, где ρ – объемная плотность своб зарядов.

№ 15. Л/среды. Связь между P и E, E и D. Опыт показывает, что д/обширного класса диэл-ков и связь между в-орами P и E линейна. Это объясняется тем, что напряж-ти макроскопич эл/полей обычно оч малы по сравн с напряж-ми микрополей внутри атомов и молек. If среда изотропна, то в-оры P и E коллинеарны и м/написать: P=αE, где α – безразмерный коэф-т, н-ый поляризуемостью диэл-ка. Он зависит от плотности и температуры диэл-ка. Связь между D и E м/записать в виде D=εE, безразм велич ε=1+4πα н-ся диэл/проницаемостью диэл-ка. Этой величиной обычно характ-ся индивидуальные св-ва диэл-ков. Д/вакуума α=0, ε=1.

№ 16. Механ поляризации диэл-ков с неполярн и полярн мол. Заряды диэл-ка м/смещаться из своих полож равнов лишь на небольшие расст-я. Допустим, что диэл-к сост из эл/нейтральных молек. Под действием приложенного эл/поля центр тяжести электронов в молек смещается отн центра тяжести атомных ядер. Молек становятся эл/диполями, ориент-ми положит заряж концами в напр-ии эл/поля Е. В этом случ говорят, что диэл-к поляризован, а само смещение полож и отриц зарядов диэл-ка в направлении эл/поля Е н-т эл/поляризацией. На схематическом рисунке диэл-к изображен в виде прямоугольника, а молек – в виде кружков. (+) - чёрный цвет, (-) - белый. На конце AB параллелепипеда ABCD выступают нескомпенсированные отриц, а на конце CD положит поверхностные заряды. Это и есть индукционные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэл-ка. Их н-т связ зарядами.

Механизм поляризации диэл-ка м/б и иным. Сущ-т диэл-ки, молек кот обладают дипольным мом-ом и в отсутствие внеш полей. Такие молек н-ся полярными. If поля нет, то полярные молек совершают хаотич тепл дв-я и ориент-ны беспорядочно. При наложении эл/поля дипольные мом-ты молек ориент-ся преимущественно в напр-ии поля. А это означает, что диэл-к становится поляризованным.

№ 17. Гу д/в-ов E и D. Из теор Гаусса д/в-ора D м/вывести гу. Рассм границу S двух диэл-ков. Возьмём бск малый цил, основания кот располож по разные стор от S. If площадь основания ΔS, то внутри цила нах-ся заряд q=σΔS. Сумма потоков в-ора D через основания цила б/ (D_n1+D_n2) ΔS, поток через бок пов-ть пренебрежимо мал. Приравнивая это выраж-е величине 4πσΔS, получим D_n1+D_n2=4πσ. Выберем единую нормаль n к пов-ти S. Направим её из среды 1 в среду 2. Тгд D_2n-D_1n=4πσ. Аналог м/док, что E_2n-E_1n=4π(σ+σ_связ). При это тангенц сост-я в-ора E не меняется (E_τ1- E_τ2=0). Это м/объяснить так: полное поле в любой т м/представить в виде суммы поля E_внутр, создаваемого поверхн зарядом площадки ΔS, и поля E_внешн, создаваемого всеми остальными зарядами. При пересечении площадки поле E_внешн остаётся непрерывным, а значит, не меняется E_τ.

№ 18. Энергия эл/поля при налич диэл-ков. Плотность энергии эл/поля. Выразим эл/энергию диэл-ка через в-оры E и D. Выч-им элементарную работу δ^*A^внешн, кот производят внеш силы при квазистатич проц-е электризации диэл-ка. Возьмём в изотропном диэл-ке 2 бск малые плоские площадки AB и CD, перпенд к эл/полю E. Расст-е между ними предполагается бск малым высшего порядка по сравн с их л/размерами. П: эл/силы, напр-е против эл/поля E, переносят с площадки AB на площадку CD эл/заряд δq=Sδσ. Тгд δ^*A^внешн= δqEl= SlEδσ= Veδσ

В результате такого переноса (по теор Гаусса) эл/поле изм-ся только между площадками, а вне их всюду останется неизменным. Длина в-ора D между площадками изменяется на величину δD= δ(E+4πP)= 4πδP= 4πδσ_пол, так что д/δ^*A^внешн получим δ^*A^внешн=(1/4π)VEdD. Поделим это выраж-е на объём δA^внешн= (1/4π)EdD. Эта ф-ла б/давать приращение плотности эл/энергии W. Плотнось энергии W м/найти как инт-л W=(1/4π)∫EdD.

№ 19. Поверхностная плотность силы, действующей на границе металла. f – сила, действ-я на 1 куб см диэл-ка (плотность силы)

f= n(p▼)E= (P▼)E= (ε-1)/4π (E▼)E= (ε-1)/8π grad E²

№ 20. Объемная плотность силы, действующей на диэл-к в эл/полях. (F, E, l, f, p, P, орта – все это в-ора). F = qE₊+ (-q)E_ - сила действ-я на диполь. Е₊ - напр-е внеш поля в т нах-я заряда q>0.

Сила действ-я на 1 см куб – плотность силы. f – сила действ-я на 1 см куб. в-ва диэл-ка, n – число диполей в 1 см куб.

, т.к ,

.

№ 21. З-н Био-Савара-Лапласа. Он опр-ет м/поле дв-ся точ зар q. B=q/cr³*[vr], где r – р-в-ор из т наблюд к q, с – коэф пропорц (зав от с-мы коорд). Учитывая E=q*r/r³: B=1/c*[vE]. Рассм 2 дв-ся зар. Поле от q₁ в т q₂: B=q₁/cr³₁₂*[v₁r₁₂] и сила: F₁₂= q₂/c*[v₂B₁]= (q₁q₂)/(c²r³₁₂)[v₂[v₁r₁₂]], аналог д/q₂. М/поле объёмного эл-та тока: dB=[jr]/сr³*dV, аналогично д/линейного: dB=(J[dlr])/(cr³). Полное поле нах-ся инт-ем по всем токам: B=1/с∫[jr]/r³*dV и B=∫(J[dlr])/(cr³) (послед - по замкн контуру).

№22 Поле прямого провода.

М/поле эл-та тока Jdl М/линии – окр-ти, с центром на оси провода

В скал ф-ме If провод бск, то

, а =>

№23 Поле на оси соленоида

1) Поле витка с током

, , , ; x>>R=>

2) Поле катушки

, , ,

№24 Сила Лоренца и сила Ампера

, if есть E=>

, j=qnv,

Сила, действ-я на провод конечной длины

№ 25. Момент сил, действующих на виток с током в магнитном поле.

Рассм однор м/поле. S=ab – площадь рамки. F₁=F₂= i/c*Ba. M= (i/c)Ba(b/2)cosα*2= (i/c)BScosα. M=[p_м, B], где p_м= (i/c)Sn (n – единич нормаль).

Опыт: виток развор-ся нормалью по полю и втяг-ся в обл сильн поля.

№26. Теор о цирк в-ора В.

Возьмём на контуре малое dl. B=(2i)/(cr) – д/бск провода. B_ldl= Bdlcosα= Brdφ= (2irdφ)/(cr), где r – расст от провода до dl, dφ – угол от нач dl к концу dl.

Д/невыпуклого контура угол всё равно возраст монотонно (тк кое-какие углы берём 3 раза и 2 - компенсируются). Ток вне контура не вносит вклада, тк там углы полностью компенсируются. Д/неплоского контура та же ф-ла, тк не важна высота, а только угол в плоскости, перпенд пров-ку. При неск токах они склад-ся алгебраически (только те, что охвачены контуром!).

№ 27. Теор о цирк в-ора I. N – число молек в 1 куб см. If ядро атома попадёт в цилл, то его ток пересеч штрихов обл 1 раз (иначе либо не пересечёт, либо 2-жды). dV=Sdlcosα. di_мол= i1_молNSdlcosα= CIdlcosα.

∫I_ldl=i_мол/c (i_мол – полн ток с учётом знака. Инт-л по контуру L).

№ 28. Напряж-ть м/поля. Теор о цирк в-ра Н. I – в-ор намаг-ти. B=H+4πI, где Н – в-ор напряж-ти м/поля. Н=В-4πI, Н не имеет разм-ти. ∫B_ldl=(4π/с)∑(i+i_м) (везде инт-л по замк контуру L), где ∑i – токи пров-ти, ∑i_м – молек токи. (4πi_м)/с= ∫4πI_ldl, ∫(B_l-4πI_l)dl= (4π)/c*∑i. ∫(H)_ldl= (4π)/c*∑i.

№ 29. Л/среды. Связь в-ов B, H, I. I=æH (æ<<1), I=æB (верно вне в-ва). Это верно д/парамаг-ов и диамаг-ов. B=H+4πI – вып-ся всегда. B=H+4πæH= μH, μ=1+4πæ, æ=(μ-1)/(4π). æ – м.восприимч-ть, μ – м/прониц-ть, I – в-ор намаг-ти, H – в-ор напряж-ти м/поля.

№ 30. Гу д/в-оров B и H.

1) ∫B_ndS=0 – всегда. S₁, S₂ – малы, так что B=const. S_бок<<S_1. Тгд B₁n₁S₁+ B_cpS_бок+ B₂n₂S₂=0 => B_1n=B_2n

2)

а) i_пов=0, l – малы (H=const), ∆l<<1: H_1l1l+ H_ср2∆l+ H_2l2l=0 => H_1τ= H_2τ