1.Решение слау

1.1.Общие сведения

С истема алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ + a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ + a_2nx_n=b₂

a_n1x₁+ a_n2x₂+ + a_nnx_n=b_n

или, при записи в матричной форме:

A ∙ x = b,

где х = – вектор искомых неизвесных,

A = – матрица коэффициентов при неизвестных,

b = – вектор свободных членов.

Итерационные методы служат для поиска приближённого решения СЛАУ с заданной точностью. Итерационный процесс не всегда сходится к решению системы, а только тогда, когда последовательность получаемых при расчётах приближений стремится к точному решению.

1.2. Исходные данные

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

6 х₁+3х₂+4х₃=5

х₁+5х₂+2х₃=47

3х₁+4х₂+9х₃=30

1.3.Решение методом Гаусса

Данный метод основан на упорядоченном исключении неизвестных из СЛАУ и приводит к решению за заранее известное количество операций (если матрица не является вырожденной).

Решение СЛАУ выполняется в два этапа. Па первом этапе приводят систему к треугольной форме, пересчитывая значения матрицы А и вектора b. Данный этап называют прямым ходом. Па втором этапе упрощенную систему решают методом подстановки. Этот этап называют обратным ходом.

Рассмотрим более подробно решение системы из n уравнений:

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+∙∙∙+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+∙∙∙+a_2nx_n=b₂

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

a_n1x₁+a_n2x₂+∙∙∙+a_nnx_n=b_n

Прямой ход.

На первом шаге выразим из первого уравнения переменную x₁:

x₁ = − ∙ (b₁ − a₁₂x₂ − a₁₃x₃ − ∙∙∙ − a_1nx_n).

Подставляя данное выражение в исходную СЛАУ, исключим из второго и последующих уравнений х₁ и получим систему следующего вида:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ + a_1nx_n = b₁

0 ∙ x₁ + a₂₂ − x₂ + a₂₃ − x₃ + ∙∙∙ + a_2n − x_n = b₂ −

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

0 ∙ x₁ + a_n2 − x₂ + a_n3 − x₃ + ∙∙∙ + a_nn − x_n = b_n −

Запишем данную систему в виде:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ∙∙∙ + a_1nx_n = b₁

0 ∙ x₁ + a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + ∙∙∙ + a_2n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾ ,

∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

0 ∙ x₁ + a_n2⁽¹⁾x₂ + a_n3⁽¹⁾x₃ + ∙∙∙ + a_nn⁽¹⁾x_n = b_n⁽¹⁾ ,

где верхний индекс указывает номер шага прямого хода. На втором шаге из второго уравнения полученной системы выразим x₂ и повторим преобразования описанные выше. Получим новую матрицу.

Аналогично выполнив n-1 шаг, получим преобразованную треугольную систему:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ∙∙∙ + a_1nx_n = b₁

0 + a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + ∙∙∙ + a_2n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

0 + 0 + 0 + ∙∙∙ + a_nn^(n-1)x_n = b_n^(n-1)

Формула пересчета коэффициентов может быть представлена в виде

a_ij^(k) = a_ij^(k-1) − , при i>k и j>k.

Пересчет свободных членов производится по формуле

= − , при i>k.

В приведенных выше выражениях через индекс k обозначен шаг преобразования матрицы. Необходимо отметить, что при равенстве нулю элемента a_kk следует найти элемент a_ik ≠ 0, при i>k и поменять местами i-ую и k-ую строки. Если такой элемент отсутствует, то вычисления аварийно прекращают и говорят, что матрица выраждена. Для повышения точности расчетов следует производить перестановку уравнений таким образом, чтобы главный элемент a_kk, на каждом шаге был максимальным.

Обратный ход.

Из последнего уравнения преобразованной системы находим xn = и далее по выражению x_i = , где i=n-1, n-2,…,1; находим вектор искомых неизвестных.

1.4.Алгоритм решения

1.5.Программа решения

1.6.Результат работы программы

x₁=−4.45 x₂=10.172 x₃=0.296

1.7.Проверка работы программы