Порядок розв'язку задачі:

1. Задати вектори X і y вихідних даних.

2. Використовуючи функцію mnk (див. ДОДАТОК 4.В), знайти многочлени Pm, m=0,1,2,..., за методом найменших квадратів. Обчислити відповідні їм значення .

3. Побудувати гістограму залежності від m, на підставі якої вибрати оптимальний степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному кресленні побудувати графіки многочленів Pm, m=0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Задача 4.2. У таблиці приведені результати спостережень за переміщенням x матеріальної точки по осі Ох у моменти часу t [ ,T]. Відомо, що рух є рівномірним і описується лінійною залежністю x(t)=vt+b. Використовуючи метод найменших квадратів, визначити швидкість v і спрогнозувати положення точки в момент часу t=2T. На одному кресленні побудувати графік руху точки і точковий графік вихідних спостережень.

Задача 4.3. Залежність між величинами x і y описується функцією y=f(x, a, b), де a і b – невідомі параметри. Знайти ці параметри, звівши вихідну задачу до лінійної задачі методу найменших квадратів.

ВКАЗІВКА. Звести вихідну задачу до лінійної задачі МНК можна, зробивши відповідну заміну змінних. Наприклад, якщо вихідна залежність має вигляд , то прологарифмувавши дану рівність і ввівши нові змінні і , одержуємо задачу про визначення коефіцієнтів лінійної залежності s= a+b t.

Задача 4.4. У таблиці приведені результати спостережень за рухом матеріальної точки в площині (x,y). Відомо, що рух здійснюється по кривій, описуваній многочленом (степінь многочлена m заданий в індивідуальному варіанті). Використовуючи метод найменших квадратів, визначити коефіцієнти k і b. Визначити значення координати x, що відповідає значенню координати y ( задано в індивідуальному варіанті).

ВКАЗІВКА. Для знаходження коефіцієнтів k і b скласти нормальну систему МНК (базисні функції: ) і розв’язати її за допомогою вбудованої функції lsolve пакета MATHCAD.

Задача 4.5. Відомо, що y=c1sin(ax)+c2cos(bx), де коефіцієнти c1 і c2 підлягають визначенню. Використовуючи метод найменших квадратів, визначити c1 і c2.

ВКАЗІВКА. Для знаходження коефіцієнтів c1 і c2 скласти нормальну систему МНК (базисні функції: sin(ax) і cos(bx) ) і розв’язати її за допомогою вбудованої функції lsolve пакета MATHCAD.

Задача 4.6. Дана функція y=f(x). Наблизити f(x) на відрізку [a,b] інтерполяційними многочленами Лагранжа 1, 2, 3 степенів. На одному кресленні побудувати графіки многочленів, що наближають, і функції f(x). Для многочлена 3 степеня порівняти якість наближення при різному виборі вузлів інтерполяції.

Задача 4.7. Дана кусочно-гладка функція y=f(x). Порівняти якість наближення функції кусочно-лінійною і глобальною інтерполяціями.

Порядок розв'язку задачі:

1. Обчислити значення функції в довільних точках , i=0,1,..., k-1, відрізка [a, b], по яких буде здійснюватися інтерполяція функції.

2. Скласти програму-функцію, що обчислює значення інтерполяційного многочлена 1-ого степеня по точках і в довільній точці відрізка . З її допомогою обчислити наближені значення функції f(x) при кусочно-лінійній інтерполяції в 3k точках вихідного відрізка [a,b].

3. Обчислити наближені значення функції f(x) у тих же 3k точках відрізка при глобальній інтерполяції, використовуючи функцію inter (див. ДОДАТОК 4.B). На одному кресленні побудувати графіки функцій, що інтерполюють, графік вихідної функції f(x), а також відзначити точки , i=0,1,...,k-1, по яких здійснювалася інтерполяція.

4. Обчислити практичну величину похибок , j=0,1,...,3k-1, наближення функції f(x) у 3k точках для кусочно-лінійної і глобальної інтерполяцій. На одному кресленні побудувати графіки похибок. Порівняти якість наближення.

ДОДАТОК 4.A.

Схема варіантів лабораторної роботи № 4

N	Виконувані задачі	N	Виконувані задачі
1	4.1.1, 4.2.1, 4.6.1, 4.8.1	16	4.1.16, 4.4.4, 4.7.8, 4.9.8
2	4.1.2, 4.3.1, 4.7.1, 4.9.1	17	4.1.17, 4.4.3, 4.6.9, 4.9.9
3	4.1.3, 4.4.1, 4.6.2, 4.9.2	18	4.1.18, 4.5.3, 4.7.9, 4.8.9
4	4.1.4, 4.5.1, 4.7.2, 4.8.2	19	4.1.19, 4.3.8, 4.6.10, 4.8.1
5	4.1.5, 4.3.2, 4.6.3, 4.8.3	20	4.1.20, 4.3.9, 4.7.1, 4.9.10
6	4.1.6, 4.3.3, 4.7.3, 4.9.3	21	4.1.21, 4.2.4, 4.6.11, 4.8.2
7	4.1.7, 4.3.4, 4.6.4, 4.9.4	22	4.1.22, 4.3.10, 4.7.2, 4.9.11
8	4.1.8, 4.2.2, 4.7.4, 4.8.4	23	4.1.23, 4.5.4, 4.6.12, 4.8.3
9	4.1.9, 4.5.5, 4.6.5, 4.8.5	24	4.1.24, 4.2.5, 4.7.3, 4.9.12
10	4.1.10, 4.4.2, 4.7.5, 4.9.5	25	4.1.25, 4.4.5, 4.6.13, 4.8.4
11	4.1.11, 4.5.2, 4.6.6, 4.9.6	26	4.1.26, 4.2.6, 4.7.4, 4.9.13
12	4.1.12, 4.3.5, 4.7.6, 4.8.6	27	4.1.27, 4.4.6, 4.6.14, 4.8.5
13	4.1.13, 4.3.6, 4.6.7, 4.8.7	28	4.1.28, 4.5.6, 4.7.5, 4.9.14
14	4.1.14, 4.3.7, 4.7.7, 4.9.7	29	4.1.29, 4.5.7, 4.6.15, 4.8.6
15	4.1.15, 4.2.3, 4.6.8, 4.8.8	30	4.1.30, 4.5.8, 4.7.6, 4.9.15