Додаток 1.C
У задачах 1.9 і 1.10 вихідне питання розв’язується шляхом знаходження визначника й порівняння його з нулем. У випадку, коли елементи визначника задані точно, варто обчислити визначник і правильно відповісти на поставлене в задачі запитання.
У
випадку, коли елементи визначника задані
наближено з відносною похибкою ,
справа складніша. Нехай елементи
матриці позначені через
.
Тоді кожен елемент матриці
тепер уже не дорівнює конкретному
значенню, а може приймати будь-яке
значення з відрізка [
(
1 -
) ;
(
1 +
) ] , якщо
>
0 , і з відрізка [
(
1 +
) ;
(
1 -
) ] , якщо
<
0. Множина усіх можливих значень
елементів матриці являє собою замкнуту
обмежену множину в 9-мірному просторі.
Сам визначник є неперервною й
диференційовною функцією 9 змінних
елементів матриці
.
За відомою теоремою Вейєрштраса, ця
функція досягає на зазначеній множині
свого найбільшого і найменшого
значень M
і m.
Якщо відрізок [ m,
M
] не містить точку 0 , то це означає, що
при довільних припустимих значеннях
елементів матриці
визначник не дорівнює 0. Якщо ж точка 0
належить відрізку [ m,
M
], таке твердження буде неправомірним.
Буде мати місце невизначеність.
Для
знаходження значень m
і M
допомагають наступні міркування. Як
функція своїх аргументів (елементів
матриці
),
визначник має таку властивість (принцип
максимуму): ця функція досягає свого
найбільшого та найменшого значення
завжди на границі області . Більш
того, можна довести, що ці значення
досягаються в точках, координати яких
є
(
1
) . Таких точок 2
= 512 . У кожній з них варто обчислити
визначник, а потім вибрати з отриманих
значень найбільше та найменше. Це і
будуть числа M
і m.
Література
1. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи. - К.: Либідь, 1996.
“Розв’язок нелінійних рівнянь ”
1. Постановка задачі чисельного роззв’язку нелінійних рівнянь. Основні етапи розв’язку задачі.
2. Умови відокремлення кореня рівняння f(x) = 0.
3. Методи відокремлення коренів нелінійного рівняння.
4. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня рівняння f(x) = 0.
5. Метод бісекції: опис методу, критерій закінчення, переваги та недоліки методу.
6. Метод Ньютона та його модифікації розв’язку нелінійного рівняння f(x) = 0.
7. Метод хорд розв’язку рівняння f(x) = 0. Оцінка похибки. Переваги та недоліки.
8. Комбінований метод хорд та дотичних розв’язку нелінійних рівнянь.
9. Пошук комплексних коренів алгебраїчних рівнянь методом Ліна.
10. Метод простої ітерації розв’язку нелінійного рівняння f(x) = 0.Умови збіжності.
Лабораторна робота № 3. Розв'язок систем лінійних та нелінійних рівнянь
Теоретичний матеріал до даної теми міститься [1, розділ 3].
Звіт з лабораторної роботи повинен містити наступні матеріали по кожній задачі:
1) постановка задачі; 2) необхідний теоретичний матеріал; 3) аналітичний розв'язок тестового приклада і результат обчислювального експерименту по тесту; 4) розв'язок поставленої задачі; 5) аналіз отриманих результатів; 6) графічний матеріал (якщо необхідно); 7) тексти програм.
Варіанти завдань до задач 3.1-3.3 подані в ДОДАТКУ 3.A.
Задача 3.1. Дана система рівнянь Ax=b порядку n. Дослідити залежність похибки розв'язку x від похибок правої частини системи b.
ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАДАЧІ:
1. Задати матрицю системи A і вектор правої частини b. Використовуючи вбудовану функцію lsolve(A, b) пакета MATHCAD, знайти розв'язок x системи Ax=b з допомогою методу Гаусса
2. За допомогою вбудованої функції condi(A) пакета MATHCAD обчислити число обумовленості матриці A.
3.
Приймаючи розв'язок x,
отримане в п. 1, за точний, обчислити
вектор
,
,
i=1,
..., n,
відносних похибок розв'язків
систем
,
i=1,
..., n,
де компоненти векторів
обчислюються по формулах:
k=1,
..., n
(
довільна величина похибки).
4.
На основі обчисленого вектора d
побудувати гістограму. По гістограмі
визначити компоненту
вектора b,
що
впливає на похибку розв'язку.
5.
Оцінити теоретично похибку розв'язку
по формулі:
.
Порівняти значення
зі
значенням практичної похибки
.
Пояснити отримані результати.
ВКАЗІВКА.
Функція condi(A)
повертає число обумовленості матриці
A,
засноване на -нормі.
Для обчислення
вектора зручно скористатися вбудованою
функцією max(v)
пакета MATHCAD, що повертає максимальну
компоненту вектора v.
Задача
3.2. Знайти
з точністю
всі
корені системи нелінійних рівнянь
використовуючи метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь. Знайти корені за допомогою убудованого блоку розв'язку рівнянь Given Find пакета MATHCAD.
(Фрагмент розв'язку задачі 3.2.0 подано у ДОДАТКУ 3.B.)
ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАДАЧІ:
1. Використовуючи пакет MATHCAD, локалізувати корені системи рівнянь графічно (див. ДОДАТОК 3.В).
2. Скласти програму-функцію, що обчислює корінь системи двох нелінійних рівнянь за методом Ньютона з точністю . Передбачити підрахунок кількості ітерацій. Для розв'язку відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовувати убудовану функцію lsolve пакета MATHCAD.
3. Використовуючи складену програму, обчислити всі корені заданої системи з точністю .
4. Використовуючи убудований блок Given Find пакета MATHCAD, знайти всі корені системи з точністю (див. ДОДАТОК 3.В). Порівняти з результатами, отриманими в п. 3.
ВКАЗІВКА.
У п. 1 привеcти рівняння системи до вигляду
(або
),
i=1,
2, можна за допомогою пункту меню Symbolic
пакета MATHCAD у такий спосіб:
1) набрати рівняння (знак рівності набирається за допомогою комбінації клавіш [CTRL] і [=]);
2) виділити змінну, щодо якої потрібно розв'язати рівняння, клацнувши на ній мишею;
3) Symbolic | Solve for Variable.
Задача 3.3. Дана система рівнянь Ax=b. Знайти розв'язок системи за допомогою методу Гаусса. Виконати 10 ітерацій по методу Зейделя. Приймаючи розв'язок, отриманий за допомогою методу Гаусса за точне, знайти величину абсолютної похибки ітераційного розв'язку.
(Фрагмент розв'язку задачі 3.3.0 подано у ДОДАТКУ 3.С.)
ПОРЯДОК РОЗВ'ЯЗКУ ЗАДАЧІ:
1. Задати матрицю системи A і вектор правої частини b. Використовуючи убудовану функцію lsolve пакета MATHCAD, знайти розв'язок системи Ax=b за допомогою методу Гаусса.
2.
Перетворити систему Ax=b
до вигляду x=Bx+c,
зручного для ітерацій. Перевірити
виконання достатньої умови збіжності
ітераційних методів
.
3. Використовуючи функцію zeid (див. ДОДАТОК 3.С B), виконати 10 ітерацій по методу Зейделя; узяти будь-яке початкове наближення. Приймаючи розв'язок, отриманий у п. 1 за точний, знайти величину абсолютної похибки ітераційного розв'язку (використовувати норму ).
4. Взяти інше початкове наближення. Пояснити отримані результати.